Brevet de maths 2026 — Métropole · 30 juin

un nombre décimal s’écrit en fraction en prenant ses décimales au numérateur et une puissance de 10 au dénominateur. Comme 0,75 a deux décimales : 0,75 = 75100. On peut simplifier par 25 : 75100 = 34. Réponse : 34 (l’écriture 75100 convient aussi, l’énoncé ne demande pas la fraction irréductible).

on additionne deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro, 4,7 − 3,5 = 1,2, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, ici −4,7 qui est négatif. Donc −4,7 + 3,5 = −1,2.

dans un tableau de proportionnalité, on passe de 6 à 18 en multipliant par 3 ; le coefficient de proportionnalité est donc 3 et a = 12 × 3 = 36. (Autre chemin : 12 est le double de 6, donc a est le double de 18, soit encore 36.) Réponse : a = 36.

le sac contient 10 + 4 + 6 = 20 boules, toutes de même probabilité d’être tirées. La probabilité est le quotient du nombre d’issues favorables par le nombre d’issues possibles : P(bleue) = 420 = 15 = 0,2. Réponse B. (La réponse A, 14, correspondrait à 5 boules bleues sur 20 et non à 4.)

on résout l’équation 10x + 16 = −64. On soustrait 16 aux deux membres : 10x = −64 − 16 = −80. On divise les deux membres par 10 : x = −8010 = −8. Vérification : 10 × (−8) + 16 = −80 + 16 = −64, on retrouve bien le second membre. Réponse C.

la notation scientifique d’un nombre s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. En décalant la virgule de 3 rangs vers la droite, 0,00458 = 4,58 × 10⁻³. Réponse C. (La proposition D, 458 × 10⁻⁵, vaut bien 0,00458, mais 458 n’est pas compris entre 1 et 10 : ce n’est pas une notation scientifique.)

dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif qu’il représente, le disque entier valant 360° pour l’effectif total. Le secteur de la réponse B est un angle droit, soit 90°, c’est-à-dire le quart du disque puisque 90360 = 14. Il représente donc le quart des élèves : 24 × 14 = 6. Six élèves ont choisi la réponse B.

le périmètre est la longueur du contour de la figure, et il se mesure en millimètres, pas en millimètres carrés — les propositions B et D, exprimées en mm², sont donc des aires et peuvent être écartées d’emblée. En additionnant les côtés : 10 × 2 + 5 × 2 = 20 + 10 = 30 mm. Réponse A.

dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent à cet angle par l’hypoténuse. Le triangle DEF est rectangle en E, donc son hypoténuse est [DF] ; le côté adjacent à l’angle EDF est [DE]. Ainsi cos(EDF) = DEDF = 610 = 35. Réponse B.

Il suffit de lire le tableau à l’intersection de la ligne « Pays-Bas » et de la colonne « Or » : les Pays-Bas ont obtenu 27 médailles d’or.

Pour chaque pays, Total = Or + Argent + Bronze. On isole donc le nombre de médailles d’or : Or = Total − Argent − Bronze = 63 − 17 − 28 = 18. L’Australie a obtenu 18 médailles d’or.

La Grande-Bretagne a obtenu 31 médailles de bronze sur un total de 124 médailles. La proportion de médailles de bronze est le quotient 31124 = 0,25, soit 25 %. Comme 25 % > 20 %, plus de 20 % des médailles de la Grande-Bretagne sont bien en bronze : l’affirmation est vraie.

La série des totaux est : 220, 124, 105, 56, 89, 71, 82, 75, 63. On la range dans l’ordre croissant : 56 < 63 < 71 < 75 < 82 < 89 < 105 < 124 < 220. L’effectif total est 9, un nombre impair : la médiane est donc la valeur centrale, c’est-à-dire la 5e (4 valeurs avant elle, 4 valeurs après elle). La médiane de cette série est 82 médailles.

Interprétation : au moins la moitié de ces 9 pays, soit au moins 5 d’entre eux (Pays-Bas 56, Australie 63, Italie 71, France 75, Ukraine 82), ont obtenu 82 médailles ou moins ; et au moins la moitié, soit au moins 5 d’entre eux (Ukraine 82, Brésil 89, États-Unis 105, Grande-Bretagne 124, Chine 220), en ont obtenu 82 ou plus.

Le nombre de médailles d’argent du Brésil passe de 20 en 2021 à 26 en 2024, soit une augmentation de 26 − 20 = 6 médailles. Un pourcentage d’augmentation se calcule en comparant cette augmentation à la valeur de départ : 620 = 0,3 = 30 %. (Autre méthode : le coefficient multiplicateur vaut 2620 = 1,3, soit une hausse de 30 %.) Le nombre de médailles d’argent obtenues par le Brésil a augmenté de 30 % entre 2021 et 2024.

Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC], qui mesure 8 cm. D’une part BC² = 8² = 64. D’autre part AB² + AC² = 6,4² + 4,8² = 40,96 + 23,04 = 64. On a donc BC² = AB² + AC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A (l’angle droit est celui opposé au plus grand côté).

Les points B, A, D sont alignés, les points C, A, E aussi, et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : ABAD = ACAE = BCDE. On calcule ce rapport avec les deux longueurs connues : ABAD = 6,44,8 = 43. On en déduit les longueurs cherchées : - de ACAE = ABAD on tire AE = AC × ADAB = 4,8 × 4,86,4 = 23,046,4 = 3,6 ; - de BCDE = ABAD on tire DE = BC × ADAB = 8 × 4,86,4 = 38,46,4 = 6. Donc DE = 6 cm et AE = 3,6 cm.

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles et la droite (BD) les coupe toutes les deux. Comme le point A est situé entre B et D, les points C et E se trouvent de part et d’autre de la sécante (BD) : les angles ABĈ et ADÊ sont alternes-internes. Or deux angles alternes-internes déterminés par deux droites parallèles et une sécante ont la même mesure. On en déduit que ABĈ = ADÊ.

Dans les triangles ABC et ADE, le sommet A se correspond à lui-même, B correspond à D et C correspond à E. Comparons les côtés homologues : ABAD = 6,44,8 = 43 ; ACAE = 4,83,6 = 43 ; BCDE = 86 = 43. Les trois rapports sont égaux : les longueurs des côtés de ABC sont proportionnelles à celles de ADE, avec le rapport 43. Les triangles ABC et ADE sont donc semblables. (Autre rédaction possible : les angles ABC et ADE sont égaux d’après la question 3, et les angles BAC et DAE sont opposés par le sommet donc égaux ; deux angles égaux deux à deux suffisent pour conclure que les triangles sont semblables.)

Les diagonales du quadrilatère BCDE sont [BD] et [CE] ; elles se coupent en A. On partage donc BCDE en deux triangles par la diagonale [BD], dont la longueur est BD = BA + AD = 6,4 + 4,8 = 11,2 cm. - Triangle BCD : le triangle ABC est rectangle en A, donc (CA) ⊥ (BD) et [CA] est la hauteur issue de C, de longueur AC = 4,8 cm. Aire(BCD) = 11,2 × 4,82 = 26,88 cm². - Triangle BDE : de même, [EA] est la hauteur issue de E, de longueur AE = 3,6 cm. Aire(BDE) = 11,2 × 3,62 = 20,16 cm². L’aire du quadrilatère est la somme des aires des deux triangles : 26,88 + 20,16 = 47,04. L’aire du quadrilatère BCDE est donc 47,04 cm².

, question 1 : l’image de 3,6 se lit sur l’axe vertical. On repère 3,6 sur l’axe des abscisses (les rayons, en cm), on monte verticalement jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point obtenu : on trouve environ 200. L’image de 3,6 par cette fonction est donc environ 200 cm³ : une boule de rayon 3,6 cm a un volume d’environ 200 cm³. (Contrôle avec la formule : (43) × π × 3,6³ ≈ 195,4 cm³, ce qui est bien cohérent avec la lecture graphique.)

, question 2 : on cherche cette fois un antécédent, donc on part de l’axe vertical. On repère 660 sur l’axe des ordonnées (les volumes, en cm³), on se déplace horizontalement jusqu’à la courbe, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit environ 5,4. Une boule de volume 660 cm³ a donc un rayon d’environ 5,4 cm. (Contrôle avec la formule : (43) × π × 5,4³ ≈ 659,6 cm³, très proche de 660 cm³.)

, question 2 : chaque boule consomme environ 65 cm³ de plastique et la bobine en contient 1 000 cm³. On divise : 1 000 ÷ 65 ≈ 15,4. Comme on ne peut fabriquer que des boules entières, on garde la partie entière du quotient. Vérification : 15 × 65 = 975 ≤ 1 000, alors que 16 × 65 = 1 040 > 1 000. On peut donc fabriquer au maximum 15 boules.

, question 3 : une masse volumique de 0,9 g/cm³ signifie que 1 cm³ de ce plastique pèse 0,9 g. La masse est proportionnelle au volume, donc masse = volume × masse volumique = 65 × 0,9 = 58,5. La masse d’une boule est donc d’environ 58,5 g. (En repartant du volume non arrondi 65,45 cm³, on obtiendrait 0,9 × 65,45 ≈ 58,9 g, soit environ 59 g : l’ordre de grandeur est le même.)

Pour constituer 16 sachets identiques en utilisant tous les bonbons, il faut que 16 divise à la fois 112 et 140. Or 112 ÷ 16 = 7 : c’est un nombre entier, les bonbons à la fraise se répartiraient bien, à 7 par sachet. Mais 140 ÷ 16 = 8,75 : ce n’est pas un nombre entier, donc 140 n’est pas divisible par 16. On ne peut donc pas constituer 16 sachets.

On décompose 140 en le divisant successivement par des nombres premiers : 140 = 2 × 70, puis 70 = 2 × 35, puis 35 = 5 × 7. En rassemblant : 140 = 2 × 2 × 5 × 7. La décomposition en facteurs premiers de 140 est donc 2² × 5 × 7.

Le nombre de sachets doit diviser 112 (pour répartir les bonbons à la fraise) et diviser 140 (pour les bonbons au caramel) : c’est donc un diviseur commun à 112 et 140. Le nombre maximal de sachets est par conséquent le PGCD de 112 et 140. On l’obtient à partir des décompositions 112 = 2⁴ × 7 et 140 = 2² × 5 × 7, en gardant les facteurs premiers communs affectés de leur plus petit exposant : PGCD(112 ; 140) = 2² × 7 = 4 × 7 = 28.

Composition d’un sachet : 112 ÷ 28 = 4 et 140 ÷ 28 = 5. On peut donc réaliser au maximum 28 sachets, contenant chacun 4 bonbons à la fraise et 5 bonbons au caramel (vérification : 28 × 4 = 112 et 28 × 5 = 140, tous les bonbons sont bien utilisés).