Sujet officiel · session 2026

Brevet de maths 2026 — Asie-Pacifique · 15 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 5 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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La transcription et le corrigé complets reprennent le sujet ci-dessous.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Automatismes Arithmétique Facile

Calculs et QCM

[Note : les questions 6, 8 et 9, qui reposaient sur des figures, ne sont pas reproduites — voir le sujet complet en PDF.]

Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante. Aucune justification n'est demandée. Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.

Q1 : L'écriture scientifique du nombre 45 310 est : A) 45,31 × 10³ ; B) 4,531 × 10⁴ ; C) 4,531 × 10⁻⁴ ; D) 4 531 × 10¹.

Q2 : Une forme développée de (4x − 3)(4x + 3) est : A) 4x² − 9 ; B) 16x² + 9 ; C) 16x² − 9 ; D) 8x² − 6.

Q3 : Un pavé droit mesure 4,5 cm de long, 4 cm de large et 10 cm de haut. Son volume est : A) 180 cm³ ; B) 170 cm³ ; C) 160,5 cm³ ; D) 18,5 cm³.

Q4 : N = 2 025 et P = 2 026. Lequel est divisible par 9 ? A) N et P ; B) N seul ; C) P seul ; D) aucun.

Q5 : Une personne a couru 9 km en 45 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Q7 : Un article coûte 60 €. Calculer son nouveau prix après une baisse de 10 %.

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Corrigé Automatismes Calculs et QCM Revoir l'énoncé

Q1 : une écriture scientifique est de la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Ici on déplace la virgule de 4 rangs : 45 310 = 4,531 × 10 000 = 4,531 × 10⁴. Réponse B.
Q2 : on reconnaît l'identité remarquable (a − b)(a + b) = a² − b², avec a = 4x et b = 3. Donc (4x − 3)(4x + 3) = (4x)² − 3² = 16x² − 9. Réponse C.
Q3 : le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : V = 4,5 × 4 × 10 = 180. Le volume du pavé est de 180 cm³. Réponse A.
Q4 : critère de divisibilité par 9 — un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres l'est. Pour N : 2 + 0 + 2 + 5 = 9, qui est divisible par 9, donc N l'est aussi. Pour P : 2 + 0 + 2 + 6 = 10, qui ne l'est pas, donc P non plus. Réponse B.
Q5 : la vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée, la durée étant exprimée en heures. 45 min = 4560 h = 0,75 h, donc v = 9 ÷ 0,75 = 12. Sa vitesse moyenne est de 12 km/h. (Sans calculatrice : 9 km en 45 min, c'est 3 km en 15 min, donc 12 km en 60 min.)
Q7 : baisser un prix de 10 %, c'est le multiplier par le coefficient 1 − 10100 = 0,9. Nouveau prix : 60 × 0,9 = 54. Après la baisse, l'article coûte 54 €. (Autre méthode : 10 % de 60 €, c'est 60 × 10100 = 6 €, et 60 − 6 = 54.)

Énoncé Exercice 1 Fonctions linéaires et affines Facile

Forfaits smartphone

Lola souhaite acheter un smartphone. Elle étudie deux propositions.

Offre A : le client paie 175 € à l'achat, puis l'abonnement est de 16 € par mois avec un engagement de 24 mois minimum.

Offre B : le client ne paie rien à l'achat, puis l'abonnement est de 23 € par mois avec un engagement de 24 mois minimum.

1. Au bout de 24 mois, laquelle des deux offres est la plus intéressante ?

2. x est un nombre positif représentant le nombre de mois. On exprime les prix en fonction de x par : f(x) = 175 + 16x et g(x) = 23x.

a. Associer chaque fonction à l'offre correspondante (A ou B). Aucune justification n'est attendue.

b. Au bout de combien de mois paie-t-on le même prix avec ces deux offres ?

c. Est-on encore dans la période d'engagement ?

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Corrigé Exercice 1 Forfaits smartphone Revoir l'énoncé

1.
Avec l'offre A, on paie le prix d'achat puis 24 mensualités de 16 € : 175 + 16 × 24 = 175 + 384 = 559 €.
Avec l'offre B, on ne paie rien à l'achat, seulement 24 mensualités de 23 € : 23 × 24 = 552 €. Comme 552 < 559, l'offre B est la plus intéressante au bout de 24 mois ; elle revient 7 € moins cher.
2. a.
f(x) = 175 + 16x comporte un terme constant 175 (le prix payé à l'achat) et 16 € par mois : f correspond à l'offre A. g(x) = 23x n'a pas de terme constant et compte 23 € par mois : g correspond à l'offre B.
2. b.
Payer le même prix avec les deux offres, c'est avoir f(x) = g(x). On résout : 175 + 16x = 23x, soit 175 = 23x − 16x, donc 7x = 175 et x = 175 ÷ 7 = 25. Vérification : f(25) = 175 + 16 × 25 = 575 et g(25) = 23 × 25 = 575. C'est au bout de 25 mois que l'on paie le même prix, à savoir 575 €.
2. c.
L'engagement dure 24 mois minimum, et 25 > 24 : au bout de 25 mois, on n'est donc plus dans la période d'engagement.

Énoncé Exercice 2 Théorème de Thalès Moyen

Tronc de cône

[Figure : le triangle OAD est rectangle en A ; O, A, B sont alignés et O, D, C sont alignés ; (AD) et (BC) sont perpendiculaires à (OB), donc parallèles entre elles.]

La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle.

• O, A et B sont alignés.

• O, D et C sont alignés.

• OD = 8,2 cm ; AD = 1,8 cm ; BC = 4,5 cm.

1. Montrer que la longueur du segment [OA] est égale à 8 cm.

2. Justifier que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.

3. Calculer la longueur du segment [OB].

Un gobelet a la forme d'un tronc de cône. On reprend les données précédentes.

Rappel : volume d'un cône de révolution V = π × R² × H ÷ 3, où R est le rayon de la base et H la hauteur.

a. Calculer le volume du grand cône de hauteur [OB] en cm³, arrondi à l'unité.

b. Calculer le volume du gobelet en cm³, arrondi à l'unité.

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Corrigé Exercice 2 Tronc de cône Revoir l'énoncé

1.
Le triangle OAD est rectangle en A, donc son hypoténuse est [OD], le côté opposé à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore : OD² = OA² + AD². On remplace par les valeurs connues : 8,2² = OA² + 1,8², donc OA² = 67,24 − 3,24 = 64. Une longueur est positive, donc OA = √64 = 8. La longueur du segment [OA] est bien égale à 8 cm.
2.
D'après la figure, (AD) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OB). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (BC) et (AD) sont donc parallèles.
3.
Les points O, A, B sont alignés dans cet ordre, les points O, D, C également, et (AD) // (BC) : on est dans une configuration de Thalès. D'après le théorème de Thalès : OAOB = ODOC = ADBC. On utilise l'égalité OAOB = ADBC, soit 8OB = 1,84,5. Par le produit en croix : 1,8 × OB = 8 × 4,5 = 36, donc OB = 36 ÷ 1,8 = 20. La longueur du segment [OB] est de 20 cm.
4. a.
Le grand cône a pour rayon de base R = BC = 4,5 cm et pour hauteur H = OB = 20 cm. On applique la formule rappelée : V = π × R² × H ÷ 3 = π × 4,5² × 20 ÷ 3 = π × 20,25 × 20 ÷ 3 = 135π ≈ 424,1. Le volume du grand cône est d'environ 424 cm³.
4. b.
Le gobelet est le grand cône privé du petit cône de sommet O, qui a pour rayon de base R = AD = 1,8 cm et pour hauteur H = OA = 8 cm. Volume du petit cône : π × 1,8² × 8 ÷ 3 = π × 3,24 × 8 ÷ 3 = 8,64π ≈ 27,1 cm³.
On soustrait : volume du gobelet = 135π − 8,64π = 126,36π ≈ 396,97. Arrondi à l'unité, le volume du gobelet est d'environ 397 cm³. (En arrondissant chaque cône d'abord, on retrouve 424 − 27 = 397 cm³.)

Énoncé Exercice 3 Calcul littéral Moyen

Programmes A et B

[Note : la copie d'écran du tableur de la question 2 n'est pas reproduite — voir le sujet complet en PDF.]

On considère le programme A suivant :

Choisir un nombre ; calculer son carré ; multiplier par 3 ; multiplier le nombre de départ par 7 ; additionner les deux nombres obtenus ; soustraire 6.

1. Appliquer le programme A au nombre 5.

2. On utilise un tableur pour trouver les résultats correspondant à quelques nombres. Parmi les quatre formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers le bas afin de calculer les résultats donnés par le programme A :

= 3*A2*2 + 7*A2 − 6 ; = 3*1*1 + 7*1 − 6 ; = 3*A2*A2 + 7*A2 − 6 ; = 3*A2*2 − 7*A2 + 6. Aucune justification n'est attendue.

3. À l'aide du tableur, donner une valeur pour laquelle le programme A donne 0. Aucune justification n'est attendue.

4. Si on note x le nombre de départ, donner une expression littérale du programme A en fonction de x.

On considère maintenant le programme B :

Choisir un nombre ; multiplier par 3 ; soustraire 2 ; additionner 3 au nombre de départ ; multiplier les deux nombres obtenus.

5. Appliquer le programme B au nombre 5.

6. Si on note x le nombre de départ, donner une expression littérale du programme B en fonction de x.

7. Mathis affirme que, quel que soit le nombre choisi, les programmes A et B donnent le même résultat. A-t-il raison ? Justifier.

8. Résoudre l'équation (3x − 2)(x + 3) = 0. En déduire les valeurs de x pour lesquelles les programmes A et B donnent 0.

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Corrigé Exercice 3 Programmes A et B Revoir l'énoncé

1.
On part de 5. D'une part, son carré vaut 5² = 25, que l'on multiplie par 3 : 3 × 25 = 75. D'autre part, 5 × 7 = 35. On additionne les deux nombres : 75 + 35 = 110, puis on soustrait 6 : 110 − 6 = 104. Le programme A appliqué à 5 donne 104.
2.
Dans le tableur, le nombre de départ est en A2. Son carré s'écrit A2*A2 (et non A2*2, qui donnerait le double du nombre), puis on multiplie par 3 : 3*A2*A2 ; le produit du nombre par 7 s'écrit 7*A2 ; on additionne les deux et on retranche 6. La formule saisie en B2 est donc = 3*A2*A2 + 7*A2 − 6.
3.
On lit dans le tableur la ligne dont le résultat vaut 0 : elle correspond au nombre de départ −3. Vérification : 3 × (−3)² + 7 × (−3) − 6 = 3 × 9 − 21 − 6 = 27 − 27 = 0. La valeur −3 convient.
4.
On refait le programme avec x comme nombre de départ : son carré est x², que l'on multiplie par 3, ce qui donne 3x² ; le produit de x par 7 donne 7x ; la somme des deux est 3x² + 7x, dont on retranche 6. Le programme A appliqué à x donne 3x² + 7x − 6.
5.
On part de 5. D'une part, 3 × 5 = 15 puis 15 − 2 = 13. D'autre part, 5 + 3 = 8. On multiplie les deux nombres : 13 × 8 = 104. Le programme B appliqué à 5 donne aussi 104.
6.
Avec x comme nombre de départ : d'une part 3 × x = 3x puis 3x − 2 ; d'autre part x + 3. On multiplie les deux nombres obtenus. Le programme B appliqué à x donne (3x − 2)(x + 3).
7.
Un exemple ne suffit pas à prouver l'égalité : il faut développer. Avec la double distributivité : (3x − 2)(x + 3) = 3x × x + 3x × 3 − 2 × x − 2 × 3 = 3x² + 9x − 2x − 6 = 3x² + 7x − 6. On retrouve exactement l'expression du programme A, donc les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi : Mathis a raison.
8.
L'équation (3x − 2)(x + 3) = 0 est une équation produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc 3x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, c'est-à-dire 3x = 2 ou x = −3, soit x = 23 ou x = −3. Les solutions sont 23 et −3. Comme le programme B s'écrit (3x − 2)(x + 3) et donne le même résultat que le programme A, les deux programmes donnent 0 exactement pour x = 23 et pour x = −3.

Énoncé Exercice 4 Algorithmique et programmation Moyen

Carré et triangle équilatéral

ABCD est un carré. ABF est un triangle équilatéral. AF = 4 cm. Les points F, A et E sont alignés. Cette figure n'est pas en vraie grandeur.

1. Justifier que la mesure de l'angle EAD est égale à 30°.

Dans la suite de l'exercice, on utilisera l'échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité.

2. Le bloc triangle permet de tracer un triangle équilatéral, et le bloc carré permet de construire un carré. Donner les valeurs de J, K, M et N pour que les blocs permettent de construire un triangle équilatéral de 4 cm de côté et un carré de 4 cm de côté. Aucune justification n'est attendue.

3. Le programme principal utilise le bloc Triangle et le bloc Carré. L'instruction « s'orienter à 90° » signifie que l'on s'oriente vers la droite. Écrire sur la copie le numéro de la figure obtenue grâce à ce programme. Aucune justification n'est attendue.

[Les blocs Scratch, le programme principal et les figures 1 à 4 ne sont pas reproduits — voir le sujet complet en PDF. Chaque bloc répète « avancer de J (ou M) pas » puis « tourner de K (ou N) degrés » ; dans le programme principal, chaque appel de bloc est suivi de « avancer de 50 pas » puis « tourner de 30 degrés ».]

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Corrigé Exercice 4 Carré et triangle équilatéral Revoir l'énoncé

1.
ABF est un triangle équilatéral : ses trois angles mesurent 60°, donc l'angle FAB = 60°. ABCD est un carré : ses quatre angles sont droits, donc l'angle BAD = 90°.
Les points F, A et E sont alignés, donc l'angle FAE est un angle plat : il mesure 180°. Cet angle est partagé en trois angles adjacents FAB, BAD et DAE, d'où : EAD = 180° − 60° − 90° = 30°. L'angle EAD mesure bien 30°.
2.
L'échelle est de 10 pas pour 1 cm, donc un côté de 4 cm se trace en 4 × 10 = 40 pas : J = 40 et M = 40.
À chaque sommet, le lutin tourne d'un angle extérieur, supplémentaire de l'angle intérieur de la figure. Pour le triangle équilatéral, dont les angles mesurent 60° : K = 180 − 60 = 120. Pour le carré, dont les angles mesurent 90° : N = 180 − 90 = 90. Contrôle : 3 × 120 = 360 et 4 × 90 = 360, le lutin fait bien un tour complet et referme chaque figure.
3.
À la fin d'un bloc Triangle ou Carré, le lutin est revenu à son point de départ avec la même orientation qu'au début du bloc. L'instruction « avancer de 50 pas » laisse donc 50 − 40 = 10 pas, soit 1 cm, entre deux figures voisines, et les rotations successives de 30 degrés disposent les figures en cercle. La figure obtenue est la figure 3.