Sujet officiel · session 2025

Brevet de maths 2025 — Polynésie · 26 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 5 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Statistiques Facile

Inscriptions à l'escalade

L'association sportive d'un collège propose aux élèves une activité escalade. La feuille de calcul ci-dessous obtenue à l'aide d'un tableur indique la répartition par âge des élèves inscrits à l'escalade.

[Feuille de calcul, colonnes A à H :

ligne 1 : Âge (en A1) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | Total (en H1)

ligne 2 : Effectif (en A2) | 1 | 3 | 8 | 12 | 4 | 2 | cellule H2 vide]

1. Quel est le nombre d'élèves âgés de 12 ans inscrits à l'escalade ?

2. Calculer le nombre total d'élèves inscrits à l'escalade.

3. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule H2 pour obtenir le nombre total d'élèves inscrits à l'escalade ?

4. Le professeur affirme : « 15 des élèves inscrits à l'escalade ont 14 ans ou plus. » A-t-il raison ?

5. L'année dernière, la moyenne des âges des élèves inscrits à l'escalade était de 13 ans. La moyenne des âges des élèves inscrits à l'escalade cette année a-t-elle augmenté par rapport à l'année dernière ?

6. L'association prévoit une hausse de 10 % des inscriptions à l'escalade l'année prochaine. Déterminer le nombre d'élèves qui seront inscrits à l'escalade l'année prochaine.

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Corrigé Exercice 1 Inscriptions à l'escalade Revoir l'énoncé

1.
La ligne 2 donne l'effectif de chaque âge. Sous l'âge 12, dans la cellule D2, on lit l'effectif 8 : il y a donc 8 élèves âgés de 12 ans inscrits à l'escalade.
2.
L'effectif total est la somme de tous les effectifs de la ligne 2 : 1 + 3 + 8 + 12 + 4 + 2 = 30. Au total, 30 élèves sont inscrits à l'escalade.
3.
La cellule H2 doit additionner les effectifs contenus de B2 à G2, et une formule de tableur commence toujours par le signe « = ». On peut saisir =SOMME(B2:G2), ou, sans utiliser la fonction SOMME, =B2+C2+D2+E2+F2+G2.
4.
Les élèves de 14 ans ou plus sont ceux qui ont 14 ans et ceux qui ont 15 ans, soit 4 + 2 = 6 élèves. La proportion cherchée est le quotient de cet effectif par l'effectif total : 630 = 1 × 65 × 6 = 15. Le professeur a donc raison.
5.
L'âge moyen est une moyenne pondérée : chaque âge est multiplié par son effectif, puis on divise par l'effectif total. Moyenne = 10 × 1 + 11 × 3 + 12 × 8 + 13 × 12 + 14 × 4 + 15 × 230 = 10 + 33 + 96 + 156 + 56 + 3030 = 38130 = 12,7. La moyenne d'âge est donc de 12,7 ans cette année. Comme 12,7 < 13, elle n'a pas augmenté : elle a au contraire baissé de 0,3 an.
6.
Augmenter une quantité de 10 %, c'est la multiplier par le coefficient 1 + 10100 = 1,1. On obtient 30 × 1,1 = 33. L'association prévoit donc 33 élèves inscrits à l'escalade l'année prochaine.

Énoncé Exercice 2 Trigonométrie Difficile

Jardin botanique

Le jardin botanique d'une ville peut être représenté par le quadrilatère ABCD ci-dessous. [Figure : A est en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite et D en bas à gauche ; les segments [AC] et [BD] sont les diagonales du quadrilatère et se coupent au point E. Le codage de la figure indique un angle droit en A (entre [AB] et [AD]), un angle droit en D (entre [DA] et [DC]) et un angle droit en E (les diagonales sont perpendiculaires). On sait que AB = 500 m, BE = 250 m et DE = 750 m. La figure n'est pas à l'échelle.]

1. Quelle est la longueur du segment [DB] ?

2. En raisonnant dans le triangle rectangle ABD, montrer que la longueur du segment [AD], arrondie au mètre, est égale à environ 866 m.

3. a. Calculer le sinus de l'angle EAB.

b. En déduire la mesure en degrés de l'angle EAB.

4. a. Montrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

b. Montrer que la longueur du segment [CD] est égale à 1 500 m.

5. Un piéton fait le tour du jardin botanique en marchant à la vitesse moyenne de 1,1 m/s. Il lit sur son plan que la longueur du segment [BC] est environ égale à 1 323 m. Le temps mis par le piéton pour faire le tour du jardin botanique est-il inférieur à une heure ?

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Corrigé Exercice 2 Jardin botanique Revoir l'énoncé

1.
Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E, donc le point E appartient au segment [BD] : il est situé entre B et D. Les longueurs s'ajoutent : DB = BE + ED = 250 + 750 = 1 000. Le segment [DB] mesure 1 000 m.
2.
Le triangle ABD est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : AB² + AD² = BD². En remplaçant par les longueurs connues : 500² + AD² = 1 000², d'où AD² = 1 000² − 500² = 1 000 000 − 250 000 = 750 000. Comme AD est une longueur, c'est un nombre positif : AD = √750 000 = 500√3 ≈ 866,03. Arrondie au mètre, la longueur AD vaut donc bien environ 866 m.
3. a.
Le triangle AEB est rectangle en E. Dans ce triangle, [AB] est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) et [EB] est le côté opposé à l'angle EAB. Or, dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse : sin(EAB) = EBAB = 250500 = 12 = 0,5.
3. b.
On cherche l'angle aigu dont le sinus vaut 0,5. À la calculatrice, avec la touche sin⁻¹ (ou arcsin) : sin⁻¹(0,5) = 30. L'angle EAB mesure donc 30°.
4. a.
D'après le codage de la figure, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AD), et la droite (DC) est elle aussi perpendiculaire à la droite (AD). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles.
4. b.
Les points B, E, D sont alignés et les points A, E, C aussi, puisque E est le point d'intersection des diagonales ; de plus (AB) et (DC) sont parallèles. On est donc dans la configuration du théorème de Thalès, qui donne l'égalité des quotients : EBED = EAEC = ABDC. On utilise EBED = ABDC, c'est-à-dire 250750 = 500DC. Le produit en croix donne DC = 500 × 750250 = 500 × 3 = 1 500. La longueur du segment [CD] est bien égale à 1 500 m.
5.
Faire le tour du jardin, c'est parcourir le périmètre du quadrilatère : AB + BC + CD + DA ≈ 500 + 1 323 + 1 500 + 866 = 4 189 m. La durée se calcule par temps = distance ÷ vitesse : 4 189 ÷ 1,1 ≈ 3 808 s. Or une heure vaut 60 × 60 = 3 600 s, et 3 808 > 3 600 (soit environ 1 h 3 min 28 s). Le temps mis par le piéton n'est donc pas inférieur à une heure : il lui faut un peu plus d'une heure.

Énoncé Exercice 3 Arithmétique Moyen

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. (−3)² est égal à :

Réponse A : −9

Réponse B : −6

Réponse C : 6

Réponse D : 9

2. La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 360 est :

Réponse A : 2³ × 9 × 5

Réponse B : 8 × 3² × 5

Réponse C : 2³ × 3² × 7

Réponse D : 2³ × 3² × 5

3. Un rectangle d'aire 135 cm² a pour largeur 3 cm. Combien mesure sa longueur ?

Réponse A : 15 cm

Réponse B : 45 cm

Réponse C : 132 cm

Réponse D : 405 cm

4. [Figure : les points B, D, E et G sont alignés dans cet ordre sur un même segment ; les longueurs BD et DE sont codées égales et valent x, et EG = 3.] Quelle expression littérale correspond à la longueur du segment [BG] ?

Réponse A : 3x²

Réponse B : 2x² + 3

Réponse C : 5x

Réponse D : 2x + 3

5. [Figure : le rectangle ADCB est partagé en neuf rectangles identiques par un quadrillage de seize points rangés en quatre lignes de quatre ; ligne du haut : A, G, I, D ; deuxième ligne : E, F, H, J ; troisième ligne : K, L, M, N ; ligne du bas : B, O, P, C.] L'image du rectangle GFHI par la translation qui transforme D en M est le rectangle :

Réponse A : EKLF

Réponse B : HMNJ

Réponse C : KBOL

Réponse D : MPCN

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Corrigé Exercice 3 QCM Revoir l'énoncé

1.
Réponse D. Le carré d'un nombre relatif est toujours positif, car on multiplie ce nombre par lui-même : (−3)² = (−3) × (−3) = 9. Attention à ne pas confondre avec −3², qui vaut −(3 × 3) = −9.
2.
Réponse D. On divise successivement par les nombres premiers : 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, soit 360 = 2³ × 3² × 5. Les réponses A et B sont à écarter car 9 et 8 ne sont pas des nombres premiers, et la réponse C ne donne pas 360 : 2³ × 3² × 7 = 8 × 9 × 7 = 504.
3.
Réponse B. L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : 135 = L × 3, donc L = 135 ÷ 3 = 45. La longueur mesure 45 cm.
4.
Réponse D. Les points B, D, E et G sont alignés dans cet ordre, donc les longueurs s'ajoutent : BG = BD + DE + EG. Le codage indique BD = DE = x, et on lit EG = 3, d'où BG = x + x + 3 = 2x + 3.
5.
Réponse C. La translation qui transforme D en M décale chaque point d'une colonne vers la gauche et de deux lignes vers le bas. Elle transforme donc G en K, F en B, H en O et I en L : l'image du rectangle GFHI est le rectangle KBOL.

Énoncé Exercice 4 Calcul littéral Moyen

Programme de calcul et fonction

On considère le programme de calcul suivant.

[Programme de calcul : on part d'un nombre choisi au départ ; d'un côté on lui ajoute 4, de l'autre on lui soustrait 2 ; on multiplie les deux résultats obtenus ; on soustrait au produit le carré du nombre de départ ; on obtient le résultat final.]

1. Montrer que si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme est 2.

2. On choisit x comme nombre de départ.

a. Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui permet d'exprimer le résultat de ce programme de calcul en fonction de x ? Aucune justification n'est attendue.

Expression A : x + 4 × x − 2 − x²

Expression B : x + 4 × x − 2 − 2x

Expression C : (x + 4) × (x − 2) − x²

Expression D : (x + 4) × (x − 2) − 2x

b. Montrer que le résultat du programme de calcul peut s'écrire sous la forme 2x − 8.

3. On appelle f la fonction définie par f(x) = 2x − 8.

Voici trois représentations graphiques : [Représentation n° 1 : une courbe, qui n'est pas une droite. Représentation n° 2 : une droite décroissante. Représentation n° 3 : une droite croissante qui coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée −8.]

a. La représentation graphique de la fonction f est la représentation n° 3. Expliquer pourquoi les représentations n° 1 et n° 2 ne conviennent pas.

b. Déterminer l'image de 4 par la fonction f.

4. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme de calcul soit égal à 100 ?

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Corrigé Exercice 4 Programme de calcul et fonction Revoir l'énoncé

1.
On applique le programme au nombre 5 : d'un côté 5 + 4 = 9, de l'autre 5 − 2 = 3. On multiplie les deux résultats : 9 × 3 = 27. On soustrait enfin le carré du nombre de départ : 27 − 5² = 27 − 25 = 2. En choisissant 5 au départ, le résultat final est bien 2.
2. a.
Réponse C : (x + 4) × (x − 2) − x². Les parenthèses sont indispensables, car on multiplie les deux résultats entiers x + 4 et x − 2 : sans elles (expressions A et B), la multiplication serait prioritaire et ne porterait que sur 4 et x. Et c'est bien le carré x² que l'on soustrait, et non le double 2x (expressions B et D).
2. b.
On développe le produit avec la double distributivité : (x + 4)(x − 2) = x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8. On soustrait alors le carré du nombre de départ : x² + 2x − 8 − x² = 2x − 8, car x² − x² = 0. Le résultat du programme s'écrit donc bien 2x − 8.
3. a.
L'expression f(x) = 2x − 8 est de la forme ax + b avec a = 2 et b = −8 : f est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite. Or la représentation n° 1 n'est pas une droite : elle ne convient pas. De plus le coefficient directeur a = 2 est positif, donc la fonction est croissante : quand on avance d'une unité en abscisse, on monte de 2 unités en ordonnée. La représentation n° 2 est une droite décroissante (il faudrait descendre), elle ne convient donc pas non plus.
3. b.
Calculer l'image de 4 par f, c'est remplacer x par 4 dans f(x) : f(4) = 2 × 4 − 8 = 8 − 8 = 0. L'image de 4 par la fonction f est 0 ; on le retrouve sur la représentation n° 3, qui passe par le point de coordonnées (4 ; 0).
4.
On cherche le nombre de départ x pour lequel le résultat vaut 100 : on résout l'équation 2x − 8 = 100. En ajoutant 8 aux deux membres : 2x = 108, puis en divisant par 2 : x = 1082 = 54. Il faut choisir 54 comme nombre de départ. Vérification : (54 + 4) × (54 − 2) − 54² = 58 × 52 − 2 916 = 3 016 − 2 916 = 100.

Énoncé Exercice 5 Probabilités Moyen

Dé à 12 faces et simulation

Partie A

Tom a acheté un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12. Il lance ce dé et s'intéresse au résultat qui apparaît sur la face du dessus.

[La photo du dé indique le résultat 3.]

1. Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir le nombre 4 est égale à 112.

2. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu soit un nombre pair ?

3. Tom pense que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3. A-t-il raison ?

Partie B

Tom souhaite maintenant simuler le lancer de deux dés équilibrés à 12 faces numérotées de 1 à 12. Le bloc « lancer » simule le lancer des deux dés et calcule la somme obtenue. Par exemple, si le résultat du dé n° 1 est égal à 3 et que le résultat du dé n° 2 est égal à 5, alors la somme sera égale à 8.

Voici le programme de Tom. [Script Scratch, retranscrit en langage naturel.]

Programme principal :

quand le drapeau est cliqué

Lancer

si Résultat > 6 alors dire « Gagné ! » pendant 2 secondes, sinon dire « Perdu ! » pendant 2 secondes

Bloc « Lancer », dont les quatre lignes sont numérotées :

ligne 1 : définir Lancer

ligne 2 : mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et ...

ligne 3 : mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre ... et 12

ligne 4 : mettre Résultat à ... + ...

On rappelle que l'instruction « nombre aléatoire entre 1 et 4 » renvoie au hasard un nombre parmi 1, 2, 3 ou 4.

1. Recopier les lignes 2, 3 et 4 du bloc « Lancer » en les complétant.

2. Si le résultat du dé n° 1 est égal à 8 et le résultat du dé n° 2 est égal à 3, qu'affichera le programme ? Justifier.

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Corrigé Exercice 5 Dé à 12 faces et simulation Revoir l'énoncé

Partie A1.
Le dé a 12 faces numérotées de 1 à 12 : l'expérience a donc 12 issues, et chaque numéro figure sur une seule face. Comme le dé est équilibré, ces 12 issues sont équiprobables. La probabilité d'un événement est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues ; il n'y a ici qu'une seule face portant le 4, donc P(obtenir 4) = 112.
2.
Entre 1 et 12, les nombres pairs sont 2, 4, 6, 8, 10 et 12 : cela fait 6 issues favorables sur 12. Donc P(obtenir un nombre pair) = 612 = 12 = 0,5.
3.
Entre 1 et 12, les multiples de 3 sont 3, 6, 9 et 12 : cela fait 4 issues favorables sur 12. Donc P(obtenir un multiple de 3) = 412 = 13 ≈ 0,33. Comme 13 ≈ 0,33 > 0,3, Tom a raison.
Partie B1.
Chaque dé porte 12 faces numérotées de 1 à 12 : pour simuler un lancer, il faut donc tirer un nombre aléatoire entre 1 et 12 pour chacun des deux dés, puis additionner leurs résultats. Ligne 2 : mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et 12. Ligne 3 : mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre 1 et 12. Ligne 4 : mettre Résultat à Dé 1 + Dé 2.
2.
À la fin du bloc « Lancer », la variable Résultat contient la somme des deux dés, soit 8 + 3 = 11. Le programme principal teste ensuite la condition Résultat > 6 : comme 11 > 6, elle est vraie, et c'est l'instruction du « alors » qui s'exécute. Le programme affichera donc « Gagné ! » pendant 2 secondes.