Sujet officiel · session 2025

Brevet de maths 2025 — Métropole · 26 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 5 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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La transcription et le corrigé complets reprennent le sujet ci-dessous.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Probabilités Moyen

Probabilités avec deux urnes

On dispose d’une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 et d’une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On tire une boule dans l’urne A, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

2. On tire une boule dans l’urne B, justifier que la probabilité d’obtenir un nombre premier est de 13.

3. Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?

4. On tire une boule au hasard dans l’une des urnes. Démontrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.

5. En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d’ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d’entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l’urne choisie ?

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Corrigé Exercice 1 Probabilités avec deux urnes Revoir l'énoncé

Les boules sont indiscernables au toucher : toutes les issues sont équiprobables, donc P = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles. Dans l’urne A, les numéros pairs (divisibles par 2) sont 10 ; 12 ; 24 et 30, soit 4 boules sur les 6 de l’urne. P(nombre pair) = 46 = 23. La probabilité d’obtenir un nombre pair en tirant dans l’urne A est 23, soit environ 0,67.
Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. On passe les 9 numéros de l’urne B en revue : 2 ; 5 et 17 sont premiers ; 6 ; 8 ; 18 et 22 sont pairs (donc divisibles par 2) ; 21 = 3 × 7 et 25 = 5 × 5. Il y a donc 3 numéros premiers sur 9 : P(nombre premier) = 39 = 13. La probabilité d’obtenir un nombre premier dans l’urne B est bien égale à 13.
Un multiple de 6 est un nombre de la forme 6 × k, avec k entier. Urne A : 12 = 6 × 2 ; 24 = 6 × 4 ; 30 = 6 × 5, soit 3 boules. Urne B : 6 = 6 × 1 ; 18 = 6 × 3, soit 2 boules (8 et 22 sont pairs, mais ne sont pas divisibles par 3). Comme 3 > 2, c’est l’urne A qui contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6.
On compare les deux probabilités en les calculant séparément. Urne A : les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 24 et 30, soit 2 boules sur 6, donc P_A = 26 = 13. Urne B : les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 21 ; 22 et 25, soit 3 boules sur 9, donc P_B = 39 = 13. On obtient P_A = P_B = 13 : la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est bien la même quelle que soit l’urne choisie.
On ajoute une boule numérotée 50 dans chaque urne : l’urne A contient maintenant 7 boules et l’urne B en contient 10. Urne A : les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 24 ; 30 et 50, donc P_A = 37. Urne B : les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 21 ; 22 ; 25 et 50, donc P_B = 410 = 25. Pour comparer ces deux fractions, on les réduit au même dénominateur 35 : 37 = 1535 et 25 = 1435. Comme 1535 > 1435, on a P_A > P_B (37 ≈ 0,43 contre 0,4) : non, après l’ajout des boules numérotées 50, les deux probabilités ne sont plus égales.

Énoncé Exercice 2 Théorème de Pythagore Moyen

Aquathlon : course à pied et natation

Cette année, les professeurs d’EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).

Partie A La course à pied

Le parcours de la course à pied est représenté par le dessin ci-dessous (le dessin n’est pas à l’échelle) : [parcours ACDEB, départ au point A, arrivée au point B ; les points A, C, B sont alignés ; les points A, D, E sont alignés ; le triangle ADC est rectangle en A ; AC = 480 m ; CB = 120 m ; AE = 250 m ; DE = 50 m]

1. Justifier que AD = 200 m.

2. Calculer la longueur CD.

3. Pour que le parcours soit validé il est nécessaire que les droites (CD) et (BE) soient parallèles et que la mesure de l’angle ACD soit supérieure à 20°.

a. Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?

b. La mesure de l’angle ACD est-elle supérieure à 20° ?

c. Le parcours est-il validé ?

Partie B La natation

Concernant l’épreuve de natation, il s’agit de nager une distance de 200 m.

Voici les temps de 9 élèves : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.

4. Quel est le temps médian de cette série ?

5. Un poisson rouge nage à la vitesse de 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l’élève le plus rapide ?

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Corrigé Exercice 2 Aquathlon : course à pied et natation Revoir l'énoncé

Les points A, D et E sont alignés dans cet ordre : le point D appartient au segment [AE]. On a donc AE = AD + DE, c’est-à-dire AD = AE − DE. AD = 250 − 50 = 200. La longueur AD est bien égale à 200 m.
Le triangle ADC est rectangle en A : son hypoténuse est le côté [CD], celui qui est opposé à l’angle droit. D’après le théorème de Pythagore : CD² = AD² + AC². CD² = 200² + 480² = 40 000 + 230 400 = 270 400. CD est une longueur, donc CD = √270 400 = 520, car 520 × 520 = 270 400. La longueur CD du parcours est de 520 m.
a.
Les points A, C, B sont alignés dans cet ordre et les points A, D, E aussi : on reconnaît une configuration de Thalès de sommet A. On calcule d’abord AB = AC + CB = 480 + 120 = 600 m. On compare ensuite les deux rapports : ACAB = 480600 = 0,8 et ADAE = 200250 = 0,8. Ces deux quotients sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
b.
Dans le triangle ADC rectangle en A, on connaît les deux côtés de l’angle droit : pour l’angle ACD, le côté opposé est [AD] et le côté adjacent est [AC]. C’est donc la tangente qu’il faut utiliser. tan(angle ACD) = ADAC = 200480 = 512. Avec la calculatrice en mode degré (touche tan⁻¹) : angle ACD ≈ 22,6°. Comme 22,6° > 20°, la mesure de l’angle ACD est bien supérieure à 20°. c. Les deux conditions exigées sont remplies : les droites (CD) et (BE) sont parallèles et l’angle ACD mesure plus de 20°. Le parcours est donc validé.
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Les 9 temps sont déjà rangés dans l’ordre croissant, et l’effectif est impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5e. On compte : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; puis 6 min qui est la 5e valeur. Le temps médian de la série est 6 min : 4 élèves ont nagé plus vite et 4 élèves ont nagé moins vite.
L’élève le plus rapide est celui qui met le moins de temps, soit 5 min 30 s = 5 × 60 + 30 = 330 s pour 200 m. Sa vitesse est v = distance/temps = 200330 ≈ 0,606 m/s. Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 : v ≈ 0,606 × 3,6 ≈ 2,2 km/h. Comme 2,2 km/h < 5 km/h, oui : le poisson rouge nage plus vite que l’élève le plus rapide (plus de deux fois plus vite).

Énoncé Exercice 3 Proportionnalité Facile

QCM

[Note : les questions 2, 4 et 6 s’appuient sur une figure du sujet ; les données de ces figures sont rappelées entre crochets. Le sujet complet est consultable en PDF sur cette page.]

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, quatre réponses (A, B, C ou D) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.

Question 1 Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?

Réponse A : 16,40 €

Réponse B : 42 €

Réponse C : 14 €

Réponse D : 10,40 €

Question 2 Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ?

[Figures non reproduites : le sujet présente deux figures de même forme et de même taille, dessinées à deux endroits différents de la page. Leur orientation, seule donnée qui permette de choisir, n’est pas restituable en texte : cette question ne peut pas être tranchée à partir de cette transcription seule, il faut se reporter au sujet en PDF.]

Réponse A : Une symétrie centrale

Réponse B : Une rotation

Réponse C : Une translation

Réponse D : Une symétrie axiale

Question 3 Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

Réponse A : 420 €

Réponse B : 330 €

Réponse C : 370 €

Réponse D : 280 €

Question 4 Quelle est l’aire du triangle rectangle ABC ?

[Figure non reproduite : le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 6 cm, BC = 4,5 cm et AC = 7,5 cm.]

Réponse A : 27 cm²

Réponse B : 13,5 cm²

Réponse C : 18 cm²

Réponse D : 9 cm²

Question 5 Quelle est la forme développée et réduite de l’expression (2x + 3)(x − 4) ?

Réponse A : 2x² − 5x − 12

Réponse B : 2x² − 11x − 12

Réponse C : 2x² − 12

Réponse D : 3x − 1

Question 6 Quel est le volume de cette pyramide à base rectangulaire ?

[Figure non reproduite : la pyramide a pour base un rectangle de 7 cm sur 4 cm, et sa hauteur mesure 12 cm.]

Réponse A : 23 cm³

Réponse B : 112 cm³

Réponse C : 336 cm³

Réponse D : 168 cm³

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Corrigé Exercice 3 QCM Revoir l'énoncé

Question 1
Réponse C. Le prix payé est proportionnel au nombre de melons : le plus simple est de passer par le prix d’un seul melon, qui est le coefficient de proportionnalité. Prix d’un melon : 8,40 ÷ 3 = 2,80 €. Prix de 5 melons : 5 × 2,80 = 14,00 €. Autre méthode, sans division : 5 melons, c’est 3 melons plus 2 melons, soit 8,40 + 2 × 2,80 = 8,40 + 5,60 = 14 €. Cinq melons coûtent 14 €. La réponse B (42 €) reviendrait à payer 5 fois le prix de 3 melons, et la réponse A à ajouter 8 € au lieu de raisonner en proportionnalité.
Question 2
Réponse D. Les figures ne sont pas reproduites ici : voici la méthode attendue, puis la réponse donnée par le sujet. Les quatre transformations proposées conservent toutes les longueurs et les angles : c’est l’orientation de la figure qui permet de les distinguer. • Une translation fait glisser la figure en bloc, selon une direction, un sens et une longueur ; la figure garde exactement la même orientation. • Une rotation la fait pivoter autour d’un point, d’un certain angle. • Une symétrie centrale est le cas particulier de la rotation d’un demi-tour (180°) autour d’un point : la figure se retrouve « la tête en bas ». • Une symétrie axiale est un retournement, comme dans un miroir : c’est la seule des quatre qui inverse le sens de lecture de la figure, l’image et la figure de départ se faisant face de part et d’autre de l’axe. D’après le corrigé officiel, la figure 2 est ici l’image de la figure 1 par la symétrie dont l’axe est la médiatrice du segment joignant les deux points les plus proches des deux figures : c’est donc une symétrie axiale. Contrôle utile en devoir : on imagine que l’on plie la feuille le long de l’axe ; si les deux figures se superposent, la transformation est bien une symétrie axiale.
Question 3
Réponse A. Augmenter un prix de 20 %, c’est lui ajouter 20100 de sa valeur, ce qui revient à le multiplier par le coefficient multiplicateur 1 + 20100 = 1 + 0,20 = 1,20. Nouveau prix = 350 × 1,2 = 420 €. Vérification par le détour habituel : 20 % de 350, c’est 350 × 20100 = 70, et 350 + 70 = 420. Le nouveau prix de l’article est 420 €. Les distracteurs s’expliquent : 370 € revient à ajouter 20 € (et non 20 %), 330 € à en retirer 20, et 280 € correspond à une baisse de 20 % (350 × 0,8).
Question 4
Réponse B. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : l’un peut servir de base et l’autre de hauteur. L’angle droit est en B, donc on prend [AB] comme base et [BC] comme hauteur ; l’hypoténuse [AC] = 7,5 cm n’intervient pas dans le calcul de l’aire. Aire = base × hauteur2 = 6 × 4,52 = 272 = 13,5. L’aire du triangle ABC est 13,5 cm². La réponse A (27 cm²) est le produit 6 × 4,5 sans la division par 2, et la réponse C (18 cm²) est en réalité le périmètre du triangle : 6 + 4,5 + 7,5 = 18, en cm et non en cm².
Question 5
Réponse A. On développe le produit avec la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, en surveillant les signes. (2x + 3)(x − 4) = 2x × x + 2x × (−4) + 3 × x + 3 × (−4) = 2x² − 8x + 3x − 12. On réduit en regroupant les deux termes en x : −8x + 3x = −5x. La forme développée et réduite est 2x² − 5x − 12. Contrôle rapide en remplaçant x par 1 : (2 + 3)(1 − 4) = 5 × (−3) = −15, et 2 × 1² − 5 × 1 − 12 = 2 − 5 − 12 = −15. Les deux expressions donnent bien le même nombre. La réponse B vient d’une erreur de signe (−8x − 3x au lieu de −8x + 3x) et la réponse C de l’oubli pur et simple des termes en x.
Question 6
Réponse B. Le volume d’une pyramide se calcule avec la formule V = aire de la base × hauteur3. La base est un rectangle de 7 cm sur 4 cm : son aire vaut B = 7 × 4 = 28 cm². La hauteur est h = 12 cm, donc V = 28 × 123 = 28 × 4 = 112. Le volume de la pyramide est 112 cm³. Les distracteurs correspondent aux erreurs classiques : 336 cm³ est le volume du pavé droit de même base et de même hauteur (on a oublié de diviser par 3), 168 cm³ revient à diviser par 2 au lieu de 3, et 23 cm³ est la somme 7 + 4 + 12 des trois dimensions.

Énoncé Exercice 4 Calcul littéral Moyen

Programmes de calcul de Zoé et Fred

Au club « Mathsetmagie », on s’amuse à créer des programmes de calcul plus ou moins magiques.

Partie A Le programme de Zoé

Voici le programme de calcul de Zoé :

• Choisir un nombre

• Soustraire 4

• Multiplier par 2

• Ajouter 8.

1. Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20 avec ce programme.

2. Quel résultat obtient-t-on avec ce programme si on choisit −7 comme nombre de départ ?

3. Zoé prétend que son programme est « magique » car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?

Partie B Le programme de Fred

Fred décide de faire son programme de calcul sur Scratch : [script : quand est cliqué ; demander « Choisir un nombre » et attendre ; mettre résultat à réponse × 4 ; mettre résultat à résultat + 10 ; mettre résultat à résultat × 5 ; dire résultat]

4. Démontrer que si le nombre de départ est x, le résultat obtenu avec le programme de Fred est 20x + 50.

5. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred ?

6. Constatant que son programme n’a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie la sixième ligne du programme pour que ce soit le cas. [script modifié : quand est cliqué ; demander « Choisir un nombre » et attendre ; mettre résultat à réponse × 4 ; mettre résultat à résultat + 10 ; mettre résultat à résultat × 5 ; mettre résultat à … − … (sixième ligne, à compléter) ; dire résultat]

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Corrigé Exercice 4 Programmes de calcul de Zoé et Fred Revoir l'énoncé

On applique les étapes du programme de Zoé au nombre 10, dans l’ordre. Soustraire 4 : 10 − 4 = 6. Multiplier par 2 : 6 × 2 = 12. Ajouter 8 : 12 + 8 = 20. En partant de 10, le programme de Zoé donne bien 20.
On reprend les mêmes étapes en partant de −7, en faisant attention aux règles de calcul sur les nombres relatifs. Soustraire 4 : −7 − 4 = −11. Multiplier par 2 : −11 × 2 = −22. Ajouter 8 : −22 + 8 = −14. En choisissant −7 comme nombre de départ, on obtient −14.
Deux exemples ne prouvent rien : pour montrer que la propriété est vraie pour tous les nombres, on remplace le nombre choisi par une lettre x et on traduit le programme par une expression littérale. Soustraire 4 donne x − 4 ; multiplier par 2 donne 2(x − 4) ; ajouter 8 donne 2(x − 4) + 8. On développe grâce à la distributivité : 2(x − 4) + 8 = 2x − 8 + 8 = 2x. Quel que soit le nombre de départ x, le résultat obtenu est 2x, c’est-à-dire son double : Zoé a raison.
On suit les blocs du script en partant de x, le nombre saisi (la variable réponse). Mettre résultat à réponse × 4 : le résultat vaut 4x. Mettre résultat à résultat + 10 : le résultat vaut 4x + 10. Mettre résultat à résultat × 5 : le résultat vaut (4x + 10) × 5. On développe : (4x + 10) × 5 = 4x × 5 + 10 × 5 = 20x + 50. Le programme de Fred affiche donc bien 20x + 50.
On cherche le nombre de départ qui donne 75 : cela revient à résoudre l’équation 20x + 50 = 75. On soustrait 50 dans chaque membre : 20x = 75 − 50, donc 20x = 25. On divise chaque membre par 20 : x = 2520 = 54 = 1,25. Vérification : 20 × 1,25 + 50 = 25 + 50 = 75. Il faut choisir 1,25 comme nombre de départ.
Fred veut que le résultat affiché soit 20 fois le nombre de départ, c’est-à-dire 20x. Or, après les cinq premières lignes, le résultat vaut 20x + 50 : il y a exactement 50 de trop, et ce quel que soit x. Il suffit donc de retrancher 50 à la fin, en complétant la ligne de soustraction déjà présente. La sixième ligne doit s’écrire « mettre résultat à résultat − 50 » : on obtient alors 20x + 50 − 50 = 20x, comme voulu.

Énoncé Exercice 5 Fonctions linéaires et affines Moyen

Achat ou location d’une voiture

Un garage propose 2 options au client :

• Option Achat : prix d’achat de la voiture 22 400 €. Assurance obligatoire 75 € par mois.

• Option Location : 425 € par mois, assurance comprise.

L’objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.

Partie A

1. Montrer qu’avec l’option Achat la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.

2. Après 36 mois, calculer l’économie réalisée par le client s’il choisit l’option Location.

3. Afin de comparer les dépenses correspondant à ces options le client a réalisé le tableau suivant à l’aide d’un tableur : [colonnes A à F ; ligne 1 : Nombre de mois / 1224 / 3648 / 60 ; ligne 2 : Dépense en € Option Achat / 23 30024 200 / 25 10026 000 / 26 900 ; ligne 3 : Dépense en € Option Location]

Quelle formule doit être saisie dans la cellule B3 qui, étendue jusqu’à la cellule F3, permet de compléter le tableau ?

Partie B

On souhaite maintenant modéliser les deux options précédentes par des fonctions.

On note x la durée écoulée en mois depuis la livraison de la voiture.

La fonction g, permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Location, peut s’écrire sous la forme : g(x) = 425x.

4. Déterminer l’expression de f(x) permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Achat.

5. Sur le graphique de la page suivante, on a tracé les courbes représentatives C_f et C_g des fonctions f et g. [graphique : axe horizontal « Durée en mois » de 0 à 120 ; axe vertical « Dépense en euros » de 0 à 40 000 ; C_g et C_f tracées]

Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois, l’option Achat est la plus avantageuse.

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Corrigé Exercice 5 Achat ou location d’une voiture Revoir l'énoncé

Avec l’option Achat, le client paie une seule fois le prix de la voiture, puis l’assurance tous les mois. Une année compte 12 mois, donc l’assurance coûte 75 × 12 = 900 €. Dépense totale = 22 400 + 900 = 23 300. À la fin de la première année, l’option Achat revient bien à 23 300 €.
On calcule le coût de chaque option sur 36 mois. Option Achat : 22 400 + 75 × 36 = 22 400 + 2 700 = 25 100 €. Option Location : 425 × 36 = 15 300 €. On soustrait pour obtenir l’écart : 25 100 − 15 300 = 9 800. Après 36 mois, le client réalise une économie de 9 800 € en choisissant l’option Location.
Avec l’option Location, la dépense est proportionnelle à la durée : c’est toujours 425 € multipliés par le nombre de mois, qui se lit dans la cellule juste au-dessus, en ligne 1. Dans la cellule B3, on saisit donc la formule =425*B1. En l’étirant vers la droite jusqu’en F3, la référence devient automatiquement C1, D1, E1 puis F1 : la formule s’adapte à chaque colonne. La formule à saisir en B3 est =425*B1 (elle donne 425 × 12 = 5 100 € pour 12 mois).
La dépense de l’option Achat se compose de deux parties : une partie fixe, le prix de la voiture (22 400 €, payé une seule fois), et une partie proportionnelle à la durée, l’assurance (75 € par mois, soit 75x euros au bout de x mois). On additionne ces deux parties : f(x) = 22 400 + 75x. C’est une fonction affine, de coefficient directeur 75 et d’ordonnée à l’origine 22 400. Contrôle avec le tableau : f(12) = 22 400 + 75 × 12 = 23 300, ce qui correspond bien à la cellule B2.
L’option Achat est la plus avantageuse lorsque sa courbe C_f se trouve en dessous de celle de C_g : on cherche donc l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Par lecture graphique, elles se coupent au point d’abscisse 64, pour une dépense d’environ 27 000 €. Avant ce point, C_f est au-dessus de C_g (la Location coûte moins cher) ; après, C_f passe en dessous (l’Achat coûte moins cher). On peut le vérifier par le calcul : f(64) = 22 400 + 75 × 64 = 27 200 et g(64) = 425 × 64 = 27 200, donc à 64 mois les deux options coûtent exactement la même chose. C’est donc au-delà de 64 mois, c’est-à-dire à partir du 65e mois, que l’option Achat devient la plus avantageuse.