Brevet de maths 2025 — Métropole · septembre

La liste compte 22 chansons réparties en trois catégories : les chants de Noël, les comptines et les berceuses. Pour obtenir le nombre de berceuses, on retire du total les chansons des deux autres catégories. 22 − (9 + 6) = 22 − 15 = 7. Il y a 7 berceuses dans la liste.

La durée moyenne est le quotient de la durée totale d’écoute par le nombre de chansons. 5522 = 2,5, donc une chanson dure en moyenne 2,5 min. On convertit la partie décimale en secondes : 0,5 min = 0,5 × 60 s = 30 s. En moyenne, une chanson de cette liste dure 2 min 30 s.

La chanson est choisie au hasard : toutes les chansons ont la même probabilité d’être écoutées. La probabilité d’un événement est alors le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Il y a 6 comptines parmi les 22 chansons, donc p = 622. On simplifie la fraction par 2 : 622 = 311. La probabilité que la chanson écoutée soit une comptine est bien égale à 311.

Les chansons qui ne sont pas des berceuses sont les chants de Noël et les comptines : 9 + 6 = 15 cas favorables sur 22. La probabilité cherchée vaut donc 1522 (≈ 0,68). On peut vérifier avec l’événement contraire « la chanson est une berceuse », de probabilité 722 : 1 − 722 = 2222 − 722 = 1522. La probabilité que la chanson écoutée ne soit pas une berceuse est 1522.

Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (1 n’est donc pas premier). Les nombres premiers compris entre 1 et 22 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19, soit 8 numéros favorables sur 22. La probabilité de l’événement vaut p = 822 = 411 (simplification par 2). Pour comparer 411 et 13, on les réduit au même dénominateur 33 : 411 = 4 × 311 × 3 = 1233 et 13 = 1 × 113 × 11 = 1133. Comme 1233 > 1133, on a 411 > 13 : oui, la probabilité que le numéro de la chanson écoutée soit un nombre premier est supérieure à 13.

L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Dans la série 4 ; 8 ; 11 ; 7 ; 2 ; 3 ; 14, la plus grande valeur est 14 et la plus petite est 2. Étendue = 14 − 2 = 12. Réponse C.

Un litre est le volume d’un cube de 10 cm d’arête, c’est-à-dire de 1 dm d’arête : 1 L = 1 dm³. À retenir : 1 m³ = 1 000 L et 1 cm³ = 1 mL. Réponse C.

L’exposant −4 signifie que l’on divise par 10⁴ = 10 000, donc que la virgule se décale de 4 rangs vers la gauche. 8,6 × 10⁻⁴ = 8,610 000 = 0,000 86 ; le nombre reste positif puisque 8,6 l’est. Réponse B.

Le ratio 3 : 2 signifie que longueur/largeur = 32. Avec une longueur de 90 cm : 90/largeur = 32, donc par produit en croix 3 × largeur = 2 × 90 = 180. largeur = 1803 = 60 cm. Réponse D.

La réduction en euros vaut 75 − 60 = 15 €. Un pourcentage de réduction se calcule toujours par rapport au prix de départ : 1575 = 0,2 = 20100. La réduction appliquée est de 20 %. Réponse D.

On reconnaît une différence de deux carrés, car 4x² = (2x)² et 25 = 5² : 4x² − 25 = (2x)² − 5². L’identité remarquable a² − b² = (a − b)(a + b) donne (2x − 5)(2x + 5). Réponse B.

Les points B, E et C sont alignés et BE = 3 cm est inférieur à BC = 7,5 cm : le point E appartient donc au segment [BC], et les longueurs s’ajoutent. BE + EC = BC, c’est-à-dire 3 + EC = 7,5. On en déduit CE = 7,5 − 3 = 4,5. La longueur CE est bien égale à 4,5 cm.

Les points C, E, B sont alignés d’une part et les points C, F, D d’autre part : on reconnaît une configuration de Thalès de sommet C, avec (EF) // (BD). D’après le théorème de Thalès : CECB = CFCD = EFBD. On utilise les deux rapports dont on connaît trois longueurs : 4,57,5 = EF6. Comme 4,57,5 = 0,6, on obtient EF = 6 × 0,6 = 3,6. La longueur EF est bien égale à 3,6 cm.

Dans le triangle CEF, le plus grand côté est [CE] (4,5 cm) : si ce triangle est rectangle, l’angle droit est en F, le sommet opposé à ce côté. On calcule séparément les deux membres de l’égalité de Pythagore : CE² = 4,5² = 20,25 ; CF² + EF² = 2,7² + 3,6² = 7,29 + 12,96 = 20,25. Les deux résultats sont égaux : CE² = CF² + EF². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît les deux côtés de l’angle droit. Pour l’angle BCA, le côté opposé est [AB] et le côté adjacent est [BC] : c’est donc la tangente qu’il faut utiliser. tan(angle BCA) = ABBC = 107,5 ≈ 1,333. Avec la calculatrice en mode degré (touche tan⁻¹) : angle BCA ≈ 53,13°. Arrondie au degré, la mesure de l’angle BCA est 53°.

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure ; il suffit pour cela que deux angles de l’un soient égaux à deux angles de l’autre, puisque le troisième s’en déduit (somme des angles égale à 180°). Le triangle ABC est rectangle en B et le triangle CEF est rectangle en F : chacun possède un angle de 90°. De plus E appartient à [CB] et F à [CA], donc l’angle FCE du triangle CEF est exactement l’angle BCA du triangle ABC : ces deux angles sont égaux (environ 53°). Oui, les triangles ABC et CEF sont semblables. On peut le confirmer par les longueurs : CA = 12,5 cm (théorème de Pythagore : 10² + 7,5² = 156,25 et √156,25 = 12,5), et CFCB = 2,77,5 = 0,36 ; EFAB = 3,610 = 0,36 ; CECA = 4,512,5 = 0,36. Les côtés sont bien proportionnels, dans le rapport 0,36.

On applique le programme de calcul de l’énoncé à la température 26 °C : • on lui ajoute 4 : 26 + 4 = 30 ; • on multiplie le résultat par 0,5 : 30 × 0,5 = 15. Pour une eau à 26 °C, le temps de filtration est bien de 15 h par jour.

On refait exactement les mêmes étapes en remplaçant la température par x : • on lui ajoute 4 : x + 4 ; • on multiplie le résultat par 0,5 : 0,5 × (x + 4). On développe grâce à la distributivité : 0,5 × (x + 4) = 0,5 × x + 0,5 × 4 = 0,5x + 2. Le temps de filtration, en heure, peut donc bien s’écrire 0,5x + 2.

Une situation est de proportionnalité lorsque sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère. Ici la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 2) et non à l’origine : f(0) = 0,5 × 0 + 2 = 2, alors qu’une fonction linéaire donnerait 0. On peut aussi le vérifier sur deux valeurs lues sur le graphique : f(4) = 4 et f(8) = 6 ; en doublant la température de 4 °C à 8 °C, le temps de filtration n’est pas doublé (il passe à 6 h et non à 8 h). Non, le temps de filtration n’est pas proportionnel à la température de l’eau de la piscine.

Sur le graphique, on part de 10 sur l’axe des abscisses, on rejoint la droite, puis on lit l’ordonnée. Le calcul le confirme : f(10) = 0,5 × 10 + 2 = 5 + 2 = 7. L’image de 10 par la fonction f est 7 : à 10 °C, il faut filtrer l’eau 7 h par jour.

On résout l’équation 0,5x + 2 = 17. On soustrait 2 aux deux membres : 0,5x = 17 − 2 = 15. On divise les deux membres par 0,5, ce qui revient à les multiplier par 2 : x = 15 ÷ 0,5 = 30. La solution de l’équation est x = 30. Autrement dit, c’est lorsque l’eau de la piscine est à 30 °C que le temps de filtration idéal atteint 17 h par jour.

Juillet et août comptent 31 jours chacun : du 1er juillet au 31 août inclus, la filtration fonctionne pendant 31 + 31 = 62 jours, à raison de 16 h par jour. On applique la formule du document 3 : consommation = puissance × heures par jour × nombre de jours = 0,8 × 16 × 62 = 793,6 kWh. On multiplie par le prix du kWh donné dans le document 2 : 793,6 × 0,23 = 182,528 €. La dépense liée au fonctionnement de la filtration sur cette période est de 182,528 €, soit environ 182,53 €.

Le dessus de la table est un carré de 80 cm de côté, et l’aire d’un carré est le produit de son côté par lui-même. 80 × 80 = 6 400. L’aire du dessus de la table est bien égale à 6 400 cm².

Chaque plaque en bois est un rectangle de longueur 60 cm et de largeur 20 cm ; l’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. Aire d’une plaque en bois : 60 × 20 = 1 200 cm², donc aire des quatre plaques : 4 × 1 200 = 4 800 cm². La plaque en verre occupe tout le reste du dessus : 6 400 − 4 800 = 1 600 cm². C’est cohérent, car ce carré central a pour côté 80 − 20 − 20 = 40 cm et 40 × 40 = 1 600. On calcule enfin la proportion que cette aire représente : 1 6006 400 = 14 = 0,25 = 25100. L’aire de la plaque en verre représente bien 25 % de l’aire totale du dessus de la table.

Les quatre plaques en bois sont identiques et se déduisent les unes des autres en pivotant autour du centre de la table. On passe du rectangle n° 1 au rectangle n° 2 par une rotation de centre le centre de la table et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre (un quart de tour).

Le bloc doit tracer un rectangle de longueur 60 pas et de largeur 20 pas (1 pas = 1 cm). La ligne 4 « avancer de 60 pas » trace une longueur ; il faut ensuite tourner d’un angle droit, car les angles d’un rectangle mesurent 90° (ligne 5), puis parcourir une largeur, soit 20 pas (ligne 6), puis tourner encore de 90° (ligne 7, déjà donnée). Ces quatre instructions tracent une longueur et une largeur, soit la moitié du contour : il suffit de les répéter 2 fois pour fermer le rectangle (ligne 3). Lignes complétées : ligne 3 : répéter 2 fois ligne 5 : tourner de 90 degrés ligne 6 : avancer de 20 pas

À la fin du bloc Rectangle, le lutin a tourné quatre fois de 90°, soit 360° au total, et ses déplacements se compensent (60 pas puis 20 pas, puis 60 pas et 20 pas en sens inverses) : il est revenu à son point de départ, orienté comme au début, le stylo relevé. Pour dessiner la plaque suivante, il doit donc se rendre au sommet suivant du carré de la table, c’est-à-dire avancer de la longueur du côté de ce carré, soit 80 pas, puis tourner de 90 degrés. Le programme A ne déplace jamais le lutin : les quatre plaques pivoteraient autour d’un même point. Le programme B ne l’avance que de 60 pas : les plaques se chevaucheraient et le carré obtenu ne mesurerait que 60 cm de côté. C’est donc le programme C qui permet de tracer la vue du dessus de la table.