Sujet officiel · session 2025

Brevet de maths 2025 — Centres étrangers · 16 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 5 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Arithmétique Moyen

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1 La décomposition en produit de facteurs premiers de 120 est :

Réponse A : 2 × 3 × 4 × 5

Réponse B : 15 × 2 × 2 × 2

Réponse C : 2³ × 3 × 5

Réponse D : 53 + 67

Question 2 [Extrait de tableur : la ligne 1 contient A1 = 2 et B1 = 5 ; la cellule A2 affiche −20.] Dans la cellule A2, la formule « = −4 * A1 − 12 » a été saisie. On l'étire jusqu'à la cellule B2. La valeur obtenue dans la cellule B2 est :

Réponse A : −32

Réponse B : −20

Réponse C : 8

Réponse D : 68

Question 3 [Figure : les carrés A et B sont tracés du même côté du point O, alignés avec lui ; le côté du carré B est le double du côté du carré A.] Sur la figure, le rapport de l'homothétie de centre O qui transforme le carré A en le carré B est :

Réponse A : −2

Réponse B : −0,5

Réponse C : 0,5

Réponse D : 2

Question 4 Une écriture factorisée de 4x² − 1 est :

Réponse A : (2x − 1)(2x + 1)

Réponse B : (4x − 1)(4x + 1)

Réponse C : 4(x − 1)(x + 1)

Réponse D : (2x − 1)²

Question 5 [Figure : triangle TER rectangle en R ; le côté [TE] mesure 7,4 cm et l'angle de sommet E mesure 39°.] Dans le triangle TER ci-contre, la mesure de la longueur RE arrondie au centième de cm est :

Réponse A : 4,66 cm

Réponse B : 5,75 cm

Réponse C : 9,52 cm

Réponse D : 11,76 cm

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Corrigé Exercice 1 QCM Revoir l'énoncé

Question 1
on décompose 120 par divisions successives : 120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, soit 120 = 2³ × 3 × 5. Les autres écritures ne conviennent pas : 4 et 15 ne sont pas premiers, et D est une somme, pas un produit. Réponse C.
Question 2
quand on étire une formule vers la droite, la référence relative A1 devient B1. La cellule B2 contient donc = −4 * B1 − 12. Comme B1 = 5 : −4 × 5 − 12 = −20 − 12 = −32. Réponse A.
Question 3
le carré B a des côtés deux fois plus longs que ceux du carré A, donc le rapport de l'homothétie a pour valeur absolue 2. Les deux carrés sont du même côté de O (l'image n'est pas retournée), donc le rapport est positif : il vaut 2. Réponse D.
Question 4
on reconnaît une différence de deux carrés. 4x² − 1 = (2x)² − 1², de la forme a² − b² = (a − b)(a + b) avec a = 2x et b = 1. Donc 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1). Réponse A.
Question 5
le triangle TER est rectangle en R, donc [TE] est l'hypoténuse. Pour l'angle de 39° de sommet E, le côté [RE] est le côté adjacent, d'où cos(39°) = RETE. On en déduit RE = TE × cos(39°) = 7,4 × cos(39°) ≈ 7,4 × 0,7771 ≈ 5,751. Arrondie au centième, la longueur RE mesure 5,75 cm. Réponse B.

Énoncé Exercice 2 Statistiques Moyen

Masses et volumes de colis

L'entreprise « Transport Rapide » doit livrer cinq colis nommés A, B, C, D et E ayant des masses différentes précisées dans le tableau ci-dessous :

Nom du colis | A | B | C | D | E

Masse en kg | 4 | 9 | 2 | 7 | 11

1. Calculer la moyenne des masses des colis en kg.

2. Déterminer la médiane des masses des colis en kg. Interpréter ce résultat.

3. Le transporteur choisit au hasard un colis parmi les cinq (A, B, C, D ou E) pour une livraison express. Calculer la probabilité pour qu'il sélectionne un colis dont la masse est inférieure à 8 kg.

Les colis ont la forme d'un pavé droit de longueur L, de largeur l et de hauteur h, représenté ci-dessous. [Schéma : pavé droit avec les arêtes notées L, l et h.]

Voici les dimensions des cinq colis :

Colis | Longueur L en mètre | Largeur l en mètre | Hauteur h en mètre

A | 0,4 | 0,3 | 0,5

B | 0,5 | 0,4 | 0,8

C | 0,3 | 0,1 | 0,5

D | 0,4 | 0,3 | 0,7

E | 0,5 | 0,4 | 0,6

4. a. Vérifier que le volume du colis E est de 0,12 m³.

b. L'entreprise souhaite calculer la masse volumique d'un colis. Montrer que la masse volumique du colis E arrondie au dixième est 91,7 kg/m³.

On rappelle que la masse volumique (en kg/m³) = masse (en kg) / volume (en m³).

c. Le transporteur affirme : « Le colis E est plus lourd que le colis C, donc la masse volumique du colis E est plus grande que celle du colis C. » A-t-il raison ?

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Corrigé Exercice 2 Masses et volumes de colis Revoir l'énoncé

1.
La moyenne est la somme des masses divisée par le nombre de colis : 4 + 9 + 2 + 7 + 115 = 335 = 6,6. La masse moyenne des cinq colis est 6,6 kg.
2.
On range les masses dans l'ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11. L'effectif est impair (5 valeurs), la médiane est donc la valeur du milieu, c'est-à-dire la 3e : la médiane est 7 kg. Interprétation : au moins la moitié des colis pèsent 7 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 7 kg ou plus.
3.
Le colis est choisi au hasard parmi 5 : les cinq issues sont équiprobables. Les colis de masse strictement inférieure à 8 kg sont C (2 kg), A (4 kg) et D (7 kg), soit 3 cas favorables. P = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles = 35 = 0,6. La probabilité de choisir un colis de moins de 8 kg est 0,6, soit 60 %.
4. a.
Le colis est un pavé droit, donc son volume est V = L × l × h. Pour le colis E : V = 0,5 × 0,4 × 0,6 = 0,2 × 0,6 = 0,12. Le volume du colis E est bien 0,12 m³.
4. b.
On applique la formule rappelée : masse volumique = masse / volume = 110,12 = 1 10012 ≈ 91,666… Arrondie au dixième, la masse volumique du colis E est 91,7 kg/m³.
4. c.
Volume du colis C : 0,3 × 0,1 × 0,5 = 0,03 × 0,5 = 0,015 m³. Sa masse volumique vaut 20,015 = 2 00015 ≈ 133,3 kg/m³. Or 91,7 < 133,3 : le transporteur a tort. En effet le colis E est 5,5 fois plus lourd que le colis C (11 = 5,5 × 2), mais son volume est 8 fois plus grand (0,12 = 8 × 0,015) : sa matière est donc moins dense.

Énoncé Exercice 3 Calcul littéral Moyen

Programme de calcul

On considère le programme de calcul suivant :

- Choisir un nombre

- Multiplier le nombre choisi par −2

- Ajouter 4 au résultat

- Multiplier le résultat obtenu par 4

1. Montrer que si l'on choisit 1 comme nombre de départ dans le programme, le résultat obtenu est 8.

2. Quel est le résultat si le nombre de départ est −2 ?

3. Si l'on note x le nombre de départ, montrer que le résultat peut s'écrire −8x + 16.

4. a. Résoudre l'équation −8x + 16 = 4.

b. En déduire le nombre de départ qu'il faut choisir pour obtenir 4 comme résultat.

5. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, quelle est celle qui représente la fonction f définie par f(x) = −8x + 16 ? Expliquer la démarche. [Figures : trois repères, chacun gradué de −2 à 18 en ordonnée et portant une droite. L'axe des abscisses est gradué de −2,5 à 0,5 sur la représentation graphique 1, de −1,5 à 1,5 sur la représentation graphique 2 et de −0,5 à 2,5 sur la représentation graphique 3.]

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Corrigé Exercice 3 Programme de calcul Revoir l'énoncé

1.
On applique le programme au nombre 1 : 1 × (−2) = −2 ; puis −2 + 4 = 2 ; puis 2 × 4 = 8. En partant de 1, le résultat obtenu est bien 8.
2.
On applique le programme au nombre −2 : (−2) × (−2) = 4 (le produit de deux nombres négatifs est positif) ; puis 4 + 4 = 8 ; puis 8 × 4 = 32. Le résultat est 32.
3.
On applique le programme au nombre x : x × (−2) = −2x ; puis −2x + 4 ; puis 4 × (−2x + 4). On développe avec la distributivité : 4 × (−2x) + 4 × 4 = −8x + 16. Le résultat s'écrit donc bien −8x + 16.
4. a.
On résout −8x + 16 = 4. On soustrait 16 aux deux membres : −8x = 4 − 16, soit −8x = −12. On divise les deux membres par −8 : x = −12−8 = 128 = 1,5. L'équation a une seule solution : x = 1,5.
4. b.
Le résultat du programme est −8x + 16 ; il est égal à 4 exactement lorsque x est solution de l'équation précédente. Il faut donc choisir 1,5 comme nombre de départ pour obtenir 4.
5.
f(x) = −8x + 16 est une fonction affine (de la forme ax + b avec a = −8 et b = 16) : sa représentation graphique est une droite. Le coefficient directeur a = −8 est négatif, donc la droite est décroissante ; l'ordonnée à l'origine est b = 16, donc la droite passe par le point (0 ; 16). Enfin f(2) = −8 × 2 + 16 = 0 : la droite coupe l'axe des abscisses au point (2 ; 0). Seule la représentation graphique 3 est graduée assez loin sur l'axe des abscisses (jusqu'à 2,5) pour montrer ce point. C'est donc la représentation graphique 3.

Énoncé Exercice 4 Théorème de Pythagore Difficile

Étude d'un champ

Un agriculteur souhaite cultiver un champ représenté par le triangle ABC ci-contre. [Figure, non à l'échelle : triangle ABC rectangle en B ; le point E est sur le segment [CA] et le point D sur le segment [CB], et le segment [DE] est tracé avec un angle droit codé en D ; les mesures indiquées sont AB = 600 m, BC = 450 m, CD = 270 m.]

Sur la figure qui n'est pas à l'échelle, on a les informations suivantes :

- le triangle ABC est rectangle en B ;

- les points C, E et A sont alignés ;

- les points C, D et B sont alignés ;

- AB = 600 m ; BC = 450 m ; CD = 270 m.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A étude géométrique du terrain

1. Montrer que le segment [AC] mesure 750 mètres.

2. a. Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.

b. Montrer que le segment [DE] mesure 360 mètres.

3. Montrer que l'aire du triangle CDE est 48 600 m².

Partie B étude du prix du mélange de graines

L'agriculteur souhaite semer un mélange de graines (blé, seigle et pois) en respectant les indications suivantes.

Indication 1 : prix au kilo pour chaque type de graine

- Blé : 1,40 €/kg

- Seigle : 1,30 €/kg

- Pois : 2,10 €/kg

Indication 2 : répartition du type de graines pour une surface de 10 000 m²

- Blé : 80 kg

- Seigle : 60 kg

- Pois : 50 kg

1. Un vendeur lui propose des sacs contenant un mélange de blé, seigle et pois selon le ratio 16 : 12 : 8. Montrer que la composition de ce sac ne respecte pas l'indication 2.

2. L'agriculteur souhaite semer le mélange de graines sur la partie du champ représentée par le triangle CDE dont l'aire mesure 48 600 m². Il a calculé qu'il doit prévoir 388,80 kg de blé pour respecter la répartition indiquée dans l'énoncé. Justifier le calcul de l'agriculteur.

3. L'agriculteur dispose d'un budget de 1 500 € pour semer le mélange de graines sur la totalité des 48 600 m² de terrain. Il a calculé qu'il doit acheter 388,80 kg de blé, 291,6 kg de seigle et 243 kg de pois pour respecter la répartition indiquée dans l'énoncé. L'agriculteur dispose-t-il d'un budget suffisant ?

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Corrigé Exercice 4 Étude d'un champ Revoir l'énoncé

Partie A1.
Le triangle ABC est rectangle en B, donc [AC] est son hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 600² + 450² = 360 000 + 202 500 = 562 500. Comme 750² = 562 500, on obtient AC = √562 500 = 750. Le segment [AC] mesure bien 750 mètres.
2. a.
L'angle droit codé en D sur la figure montre que (DE) est perpendiculaire à (BC). Par ailleurs le triangle ABC est rectangle en B, donc (AB) est aussi perpendiculaire à (BC). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (ED) et (AB) sont parallèles.
2. b.
Les points C, D, B sont alignés, les points C, E, A sont alignés et (ED) // (AB) : d'après le théorème de Thalès, CDCB = CECA = DEAB. On utilise la première et la dernière fraction : 270450 = DE600. Or 270450 = 35 = 0,6, donc DE = 0,6 × 600 = 360. Le segment [DE] mesure bien 360 mètres.
3.
D'après la question 2. a., (DE) est perpendiculaire à (BC), donc le triangle CDE est rectangle en D : les côtés [DE] et [DC] sont perpendiculaires, on peut donc les prendre comme base et comme hauteur. Aire = DE × DC2 = 360 × 2702 = 97 2002 = 48 600. L'aire du triangle CDE est bien 48 600 m².
Partie B1.
Le ratio 16 : 12 : 8 se simplifie en divisant chaque terme par 4 : 4 : 3 : 2. Pour obtenir les 80 kg de blé de l'indication 2, on multiplie par 20 : le sac contiendrait alors 80 kg de blé, 60 kg de seigle et 2 × 20 = 40 kg de pois. Or l'indication 2 demande 50 kg de pois, et non 40 kg : la composition du sac ne respecte pas l'indication 2.
2.
Les masses de graines sont proportionnelles à la surface semée. On compare la surface à semer à la surface de référence : 48 60010 000 = 4,86, donc le triangle CDE représente 4,86 fois cette surface. Comme il faut 80 kg de blé pour 10 000 m², il en faut 80 × 4,86 = 388,8 kg pour le triangle CDE : le calcul de l'agriculteur, 388,80 kg de blé, est bien justifié.
3.
On calcule le prix de chaque graine avec l'indication 1. Blé : 388,80 × 1,40 = 544,32 €. Seigle : 291,6 × 1,30 = 379,08 €. Pois : 243 × 2,10 = 510,30 €. Prix total : 544,32 + 379,08 + 510,30 = 1 433,70 €. Or 1 433,70 < 1 500 : oui, l'agriculteur dispose d'un budget suffisant, et il lui restera même 1 500 − 1 433,70 = 66,30 €.

Énoncé Exercice 5 Probabilités Moyen

Digicode

Un digicode commande l'ouverture de la porte d'entrée de la maison de la grand-mère de Léna.

Léna a oublié le code. Elle sait qu'il est composé d'une lettre A, B, ou C, suivie d'un chiffre compris entre 0 et 9.

1. Proposer deux codes différents que Léna peut tester.

2. Quelle est la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi la lettre C dans son code ?

3. Montrer que la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi le chiffre 7 dans son code est 110.

4. Léna se souvient que sa grand-mère, enseignante de mathématiques à la retraite, aime bien les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le code choisi par sa grand-mère comporte un nombre premier ?

5. a. Léna décide de tester tous les codes possibles. Elle estime qu'il lui faut 5 secondes pour essayer un code. Réussira-t-elle à ouvrir la porte de la maison en moins de 3 minutes ?

b. Le format de ce code garantit-il la sécurité de la maison ? Comment pourrait-on améliorer ce système de code ?

6. Chaque fois qu'un utilisateur saisit un code, un programme lui annonce si le code est correct ou faux. Le programme utilisé est le suivant :

[Script Scratch en langage naturel : demander une lettre parmi A, B, C ; demander un chiffre entre 0 et 9 ; si la lettre saisie = B et le chiffre saisi = 7 alors dire « Code correct » pendant 2 s, sinon dire « Code faux » pendant 2 s.]

a. Léna saisit le code B5. Qu'affiche le programme ?

b. D'après ce programme, quel est le code qui permet d'entrer dans l'immeuble de la grand-mère de Léna ?

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Corrigé Exercice 5 Digicode Revoir l'énoncé

1.
Un code est formé d'une lettre (A, B ou C) suivie d'un chiffre (de 0 à 9). Léna peut donc tester par exemple les codes A0 et B1.
2.
Dénombrons d'abord tous les codes : 3 choix pour la lettre et, pour chacun, 10 choix pour le chiffre, soit 3 × 10 = 30 codes possibles, tous équiprobables. Les codes commençant par C sont C0, C1, …, C9 : il y en a 10. Donc P(la lettre est C) = 1030 = 13.
3.
Les codes contenant le chiffre 7 sont A7, B7 et C7 : il y en a 3 sur les 30 codes possibles. Donc P(le chiffre est 7) = 330 = 110 : la probabilité est bien égale à 110, soit 0,1.
4.
Les nombres premiers compris entre 0 et 9 sont 2, 3, 5 et 7 (rappel : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 4, 6, 8 et 9 ont d'autres diviseurs qu'eux-mêmes et 1). Chacun de ces 4 chiffres peut être précédé de l'une des 3 lettres, ce qui donne 3 × 4 = 12 codes favorables. Donc P(le code comporte un nombre premier) = 1230 = 25 = 0,4, soit 40 %.
5. a.
Il y a 30 codes à essayer et chaque essai dure 5 secondes : au pire, il lui faudra 30 × 5 = 150 secondes. Or 150 s = 120 s + 30 s = 2 min 30 s, et 2 min 30 s < 3 min. Oui, Léna réussira à ouvrir la porte en moins de 3 minutes.
5. b.
Non : n'importe qui peut essayer les 30 codes en 2 min 30 s au maximum, la sécurité est donc très faible. On peut améliorer le système en allongeant le code, en utilisant les 26 lettres de l'alphabet et davantage de caractères, ou en bloquant le clavier après quelques essais faux. Par exemple, avec les 26 lettres suivies d'un chiffre, il y aurait 26 × 10 = 260 codes, soit 260 × 5 = 1 300 secondes (plus de 21 minutes) pour les essayer tous.
6. a.
Léna saisit B5 : la lettre saisie est bien B, mais le chiffre saisi est 5, donc différent de 7. La condition « lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 » exige les deux égalités à la fois : elle est fausse. Le programme exécute donc le bloc sinon et affiche « Code faux » pendant 2 secondes.
6. b.
Le programme n'affiche « Code correct » que lorsque la lettre saisie est B et le chiffre saisi est 7. Le code qui permet d'entrer est donc B7.