Brevet de maths 2025 — Asie · 9 juin

L'urne contient 4 + 6 + 7 + 3 = 20 boules. Elles sont indiscernables au toucher, donc chacune a autant de chances d'être tirée : on est en situation d'équiprobabilité et la probabilité d'un événement est le quotient nombre d'issues favorablesnombre d'issues possibles. Les issues favorables sont les 6 boules violettes, d'où P(violette) = 620 = 310 (on simplifie par 2). Réponse C. Les autres propositions sont des pièges classiques : 614 compare les violettes aux 14 autres boules au lieu du total, 1420 est la probabilité de ne pas tirer de violette, et 14 reviendrait à croire que les quatre couleurs sont en nombres égaux.

Prendre 70 % d'une quantité, c'est en prendre 70 centièmes : on multiplie donc par 70100 = 0,70. Réponse B. Attention à ne pas confondre avec les coefficients d'évolution : une hausse de 70 % correspond au coefficient 1 + 70100 = 1,70, une baisse de 70 % au coefficient 1 − 70100 = 0,30 et une hausse de 30 % au coefficient 1,30.

Avant tout calcul de médiane ou d'étendue, on range la série dans l'ordre croissant : 7 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur : 18 − 7 = 11, et non 8 : la proposition A est fausse. La série compte 5 valeurs, un nombre impair, donc la médiane est la 3ᵉ valeur de cette liste ordonnée, soit 13, et non 12 : la proposition B est fausse.

La moyenne s'obtient en additionnant toutes les valeurs puis en divisant la somme par leur nombre : 7 + 18 + 12 + 13 + 155 = 655 = 13. La moyenne vaut donc 13 et non 53 : la proposition C est fausse. Réponse D. Le nombre 53 est d'ailleurs ce qu'affiche une calculatrice si on oublie les parenthèses, car la division passe avant l'addition : 7 + 18 + 12 + 13 + 15 ÷ 5 = 7 + 18 + 12 + 13 + 3 = 53.

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, où b est l'ordonnée à l'origine (l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées) et a le coefficient directeur. Ici la droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 4), donc b = 4 : les propositions B et D, dont l'ordonnée à l'origine est −2 et 2, sont éliminées.

La droite passe aussi par le point (1 ; 2). Le coefficient directeur est le quotient de la variation des ordonnées par celle des abscisses : a = 2 − 41 − 0 = −21 = −2. Ce signe négatif est cohérent avec une droite décroissante. Donc f(x) = −2x + 4. Réponse C.

Bilan des réponses à recopier : question 1 → C ; question 2 → B ; question 3 → D ; question 4 → C.

Le triangle CDE est rectangle en D, donc son hypoténuse est le côté [CE], opposé à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore : CD² + DE² = CE², soit 21,6² + DE² = 29,1².

On isole DE² : DE² = 29,1² − 21,6² = 846,81 − 466,56 = 380,25. Une longueur est un nombre positif, donc DE = √380,25 = 19,5. La longueur DE est bien égale à 19,5 cm.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires : on peut prendre [CD] comme base, et [DE] est alors la hauteur associée. Aire(CDE) = CD × DE2 = 21,6 × 19,52 = 421,22 = 210,6. L'aire du triangle CDE vaut 210,6 cm².

Les droites (FD) et (GE) se coupent en C et les droites (GF) et (DE) sont parallèles : c'est la configuration du théorème de Thalès. Il donne les trois rapports égaux CFCD = CGCE = GFDE.

On garde CFCD = GFDE, soit 17,221,6 = GF19,5. Par produit en croix : GF = 19,5 × 17,221,6 = 335,421,6 ≈ 15,527. Arrondie au millimètre près, GF ≈ 15,5 cm (soit 155 mm).

D'après la question 2, Aire(CDE) = 210,6 cm². Or (19) × Aire(CDE) = 210,69 = 23,4, ce qui est exactement l'aire affichée par le logiciel pour le triangle ABC. L'aire du triangle ABC est donc bien égale à 19 de l'aire du triangle CDE.

Les triangles ABC et EDC sont semblables : ABC est une réduction de EDC de rapport k. Propriété des agrandissements-réductions : quand les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k². Ici le rapport des aires vaut 19, donc k² = 19 ; comme k est un rapport de longueurs, il est positif, donc k = 13.

Dans la correspondance ABC ↔ EDC, le côté [AB] est homologue du côté [ED]. Donc AB = (13) × ED = 19,53 = 6,5. La longueur AB mesure 6,5 cm.

, question 1. Le côté du carré EFGH est EF = 2x. Pour x = 1,5 : EF = 2 × 1,5 = 3 cm. Le périmètre d'un carré est égal à 4 fois la longueur de son côté : P(EFGH) = 4 × 3 = 12. Le périmètre du carré EFGH vaut 12 cm.

On remplace x par 1,5 dans l'expression donnée : AB = 16 − 2x = 16 − 2 × 1,5 = 16 − 3 = 13. Donc AB = 13 cm.

Il s'agit de tracer, à la règle graduée et à l'équerre, un rectangle ABCD de longueur AB = 13 cm et de largeur AD = x = 1,5 cm, avec quatre angles droits.

Le périmètre d'un rectangle est égal au double de la somme de sa longueur et de sa largeur : P(ABCD) = 2 × (AB + AD) = 2 × (13 + 1,5) = 2 × 14,5 = 29 cm. Or P(EFGH) = 12 cm d'après la question 1. Comme 29 ≠ 12, les périmètres de ABCD et de EFGH ne sont pas égaux quand x = 1,5 cm.

Non. En comparant les colonnes une à une, aucune valeur de la ligne 2 n'est égale à celle de la ligne 3 : pour x = 3 on lit 24 et 26, pour x = 4 on lit 32 et 24. Le tableau montre seulement que le périmètre du carré, d'abord plus petit, devient plus grand entre x = 3 et x = 4 : la valeur cherchée n'est donc pas un nombre entier et ne figure pas dans ce tableau.

Le rectangle ABCD a pour dimensions AD = x et AB = 16 − 2x. Son périmètre vaut 2 × (AD + AB) = 2 × (x + 16 − 2x) = 2 × (16 − x) = 32 − 2x, c'est-à-dire −2x + 32.

On cherche x tel que le périmètre du rectangle soit égal à celui du carré, soit −2x + 32 = 8x. On ajoute 2x aux deux membres : 32 = 10x. On divise les deux membres par 10 : x = 3210 = 3,2.

Vérification : pour x = 3,2, le carré a un côté 2 × 3,2 = 6,4 cm et un périmètre 4 × 6,4 = 25,6 cm ; le rectangle mesure 3,2 cm sur 16 − 6,4 = 9,6 cm et son périmètre vaut 2 × (3,2 + 9,6) = 25,6 cm. Les deux périmètres sont bien égaux pour x = 3,2 cm.

, question 1. Ligne 2 : répéter 3 fois. Un triangle équilatéral a 3 côtés, donc le motif « avancer puis tourner » doit être exécuté 3 fois.

Ligne 3 : avancer de 50 pas, puisque chaque côté du triangle doit mesurer 50 pas. Ligne 4 : tourner de 120 degrés. Attention, le lutin ne tourne pas de l'angle du triangle mais de son supplémentaire : chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 180° ÷ 3 = 60°, donc le lutin pivote de 180° − 60° = 120°. Contrôle : 3 × 120° = 360°, le lutin revient bien à son orientation de départ.

Après l'exécution du bloc « triangle équilatéral », le lutin est revenu à son point de départ et il est orienté comme au début. Pour disposer les 6 triangles autour de ce point sans qu'ils se recouvrent, il faut tourner à chaque fois d'un sixième de tour, soit 360° ÷ 6 = 60°.

C'est donc le programme A qui trace l'hexagone souhaité. Le programme B tourne de 120° entre deux triangles : après 3 répétitions le lutin a déjà tourné de 360°, les triangles se superposent deux à deux et le dessin ne comporte que 3 triangles.

Chaque côté mesure 50 pas : on choisit l'instruction « avancer de 50 pas ». À chaque sommet, l'angle intérieur de l'hexagone régulier vaut 120° (indiqué sur la figure), donc le lutin pivote de l'angle extérieur, c'est-à-dire 180° − 120° = 60° : on choisit « tourner de 60 degrés ».

Le bloc à recopier est donc : répéter 6 fois [ avancer de 50 pas ; tourner de 60 degrés ]. Contrôle : 6 × 60° = 360°, le lutin fait un tour complet et referme l'hexagone sur son point de départ.

, question 1. On décompose : 300 = 3 × 100 = 3 × 2 × 2 × 5 × 5, soit 300 = 2² × 3 × 5². Dans une décomposition en produit de facteurs premiers, tous les facteurs doivent être des nombres premiers : la proposition 1 contient 15 = 3 × 5 et la proposition 2 contient 25 = 5 × 5, qui ne sont pas premiers. La bonne réponse est la proposition 3 : 2² × 3 × 5².

On divise successivement par les nombres premiers, en commençant par le plus petit : 350 = 2 × 175, puis 175 = 5 × 35, puis 35 = 5 × 7. Donc 350 = 2 × 5 × 5 × 7, c'est-à-dire 350 = 2 × 5² × 7.

Chaque lot doit contenir le même nombre de poissons de type A et le même nombre de poissons de type B, et tous les poissons doivent être utilisés : le nombre de lots est donc un diviseur commun de 350 et de 300. Comme on en veut le plus grand possible, c'est leur PGCD.

On lit le PGCD sur les décompositions 350 = 2 × 5² × 7 et 300 = 2² × 3 × 5² : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant, soit PGCD(350 ; 300) = 2 × 5² = 2 × 25 = 50. La responsable pourra constituer au maximum 50 lots.

On partage alors chaque type en 50 parts égales : 350 ÷ 50 = 7 et 300 ÷ 50 = 6. Chaque lot contiendra 7 poissons de type A et 6 poissons de type B (soit 13 poissons par lot).

Aquarium 2 (pavé droit) : l'eau monte à (45) × 30 = 24 cm. V₂ = Longueur × Largeur × hauteur d'eau = 28 × 28 × 24 = 18 816 cm³ = 18,816 dm³ = 18,816 L, ce qui dépasse 15 L. C'est donc l'aquarium 2 qu'il faut choisir pour un poisson combattant.

Prix total avant réduction : 15 + 40 = 55 €. Une réduction de 15 % revient à multiplier par le coefficient 1 − 15100 = 0,85. On obtient 55 × 0,85 = 46,75. La famille paiera 46,75 €.