Brevet de maths 2025 — Amérique du Nord · 4 juin

Le triangle ABC est rectangle en B, donc son hypoténuse est le côté [AC], opposé à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC², soit 50² = AB² + 30². Donc AB² = 2 500 − 900 = 1 600. Une longueur étant positive, AB = √1 600 = 40. La longueur AB est égale à 40 m.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB). Le triangle ADE est rectangle en E, donc la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AE) ; or les points A, B, E et M sont alignés, donc (AE) et (AB) sont une seule et même droite. Les droites (BC) et (DE) sont ainsi perpendiculaires à une même droite (AB). D'après la propriété « si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles », les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Les points B, A, E sont alignés, les points C, A, D sont alignés et (BC) // (DE) : on est dans une configuration de Thalès, ici la configuration dite « papillon », car A est situé entre B et E et entre C et D. Le théorème de Thalès donne les égalités de quotients ABAE = ACAD = BCDE. On utilise ACAD = BCDE, soit 5070 = 30DE. Le produit en croix donne 50 × DE = 30 × 70 = 2 100, d'où DE = 2 10050 = 42. La longueur DE est bien égale à 42 m.

Le triangle DEM est rectangle en E (car (DE) ⊥ (AB) et M appartient à (AB)) et l'angle DME mesure 60°. Dans ce triangle rectangle, vu de l'angle en M, [DE] est le côté opposé et [EM] le côté adjacent : on utilise donc la tangente. tan(DME) = DEEM, soit tan(60°) = 42EM, d'où EM = 42tan(60°) = 42√3 ≈ 24,25. La longueur EM est bien environ égale à 24,2 m.

Question 5, calcul préliminaire de AE. On réutilise les égalités de Thalès de la question 3 : ABAE = ACAD, soit 40AE = 5070. Le produit en croix donne 50 × AE = 40 × 70 = 2 800, d'où AE = 2 80050 = 56 m. On pouvait aussi appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ADE rectangle en E : AE² = AD² − DE² = 4 900 − 1 764 = 3 136, donc AE = √3 136 = 56 m.

Question 5, aire du triangle AMD. Sur la droite (AB), le point M est situé entre A et E, donc AM = AE − EM ≈ 56 − 24,25 = 31,75 m. La droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AM), donc la distance du point D à la droite (AM) vaut DE = 42 m : c'est la hauteur du triangle AMD issue de D, relative à la base [AM]. Aire(AMD) = AM × DE2 ≈ 31,75 × 422 ≈ 666,8. L'aire du triangle AMD est environ égale à 667 m². (Vérification : Aire(ADE) − Aire(DME) = 56 × 422 − 24,25 × 422 ≈ 1 176 − 509,2 ≈ 666,8 m².)

On applique le programme A au nombre 4, étape par étape : multiplier par 3 donne 4 × 3 = 12 ; ajouter 15 donne 12 + 15 = 27 ; diviser par 3 donne 27 ÷ 3 = 9 ; soustraire le nombre de départ donne 9 − 4 = 5. Lorsque le nombre choisi est 4, le programme A donne bien 5.

On applique le programme A au nombre −2 : (−2) × 3 = −6 ; −6 + 15 = 9 ; 9 ÷ 3 = 3 ; puis on soustrait le nombre de départ, qui est −2 : 3 − (−2) = 3 + 2 = 5. Lorsque le nombre choisi est −2, le programme A donne bien 5.

Deux exemples ne prouvent rien : il faut faire le calcul avec une lettre. On appelle x le nombre choisi. Multiplier par 3 : 3x. Ajouter 15 : 3x + 15, que l'on factorise par 3 : 3x + 15 = 3(x + 5). Diviser par 3 : 3x + 53 = x + 5. Soustraire le nombre de départ : (x + 5) − x = 5. Le résultat vaut 5 quel que soit le nombre x choisi au départ : l'affirmation « Le programme A donne toujours le même résultat » est donc vraie.

On applique le programme B au nombre 10. Première branche : 10 − 1 = 9. Seconde branche : 10 − 6 = 4. On multiplie les deux résultats : 9 × 4 = 36. On ajoute 5 : 36 + 5 = 41. Lorsque le nombre choisi est 10, le programme B donne 41.

En partant d'un nombre x, le programme B donne (x − 1)(x − 6) + 5, alors que le programme A donne toujours 5 d'après la question 3. Les deux programmes donnent le même résultat lorsque (x − 1)(x − 6) + 5 = 5, c'est-à-dire (x − 1)(x − 6) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : x − 1 = 0 ou x − 6 = 0, donc x = 1 ou x = 6. Les deux nombres cherchés sont 1 et 6.

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque leur représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Ici la courbe part bien de l'origine, mais ce n'est pas une droite : elle s'infléchit et comporte même un palier. On le confirme par le calcul, en comparant les quotients distance/temps de deux points lus sur la courbe : 4,520 = 0,225 km par minute, alors que 950 = 0,18 km par minute. Ces deux quotients sont différents, il n'existe donc pas de coefficient de proportionnalité. Non, le temps et la distance parcourue par Malo ne sont pas proportionnels.

On repère 20 sur l'axe des temps, on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point obtenu. Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru 4,5 km.

On procède dans l'autre sens : on part de 9 sur l'axe des distances, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on descend sur l'axe des temps. Malo a mis 50 minutes pour parcourir les 9 premiers kilomètres.

La vitesse moyenne est le quotient de la distance totale parcourue par la durée totale du parcours : v = dt. La courbe montre que Malo parcourt les 13,5 km en 80 minutes. Pour obtenir un résultat en km/h, on convertit d'abord la durée en heures : 80 min = 8060 h = 43 h. Donc v = 13,5 ÷ (43) = 13,5 × 34 = 10,125. Arrondie au dixième, la vitesse moyenne de Malo lors de cette course est 10,1 km/h. (Remarque : cette vitesse moyenne tient compte des 10 minutes d'arrêt, puisqu'elle se calcule sur la durée totale. Si l'on ne comptait que les 70 minutes pendant lesquelles il court effectivement, on trouverait 13,5 × 6070 = 817 ≈ 11,6 km/h.)

a. Louise et Hillal partent en même temps et parcourent la même distance, 13,5 km : celui qui arrive le premier est donc celui qui court le plus vite. Comme 12 > 10, c'est Louise qui a franchi la première la ligne d'arrivée. On peut le vérifier par les durées, avec t = dv : Louise met 13,512 = 1,125 h, soit 1 h 7 min 30 s, tandis qu'Hillal met 13,510 = 1,35 h, soit 1 h 21 min.

b. Il faut calculer la distance parcourue par Hillal à l'instant précis où Louise franchit la ligne, c'est-à-dire au bout de t = 1,125 h. Hillal court à vitesse régulière : la distance qu'il parcourt est proportionnelle au temps, donc d = v × t = 10 × 1,125 = 11,25 km. Il lui reste alors 13,5 − 11,25 = 2,25 km à parcourir. Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée, elle a 2,25 km d'avance sur Hillal.

, question 1. Dans une boucle « avancer puis tourner », le lutin ne tourne pas de l'angle de la figure mais de l'angle extérieur, et la somme des angles dont il tourne vaut 360° quand la figure se referme. Script 1 : la boucle est répétée 3 fois, donc le lutin trace 3 côtés de 30 pas, et 3 × 120° = 360°, il revient à son orientation de départ : c'est un triangle à trois côtés égaux, donc un triangle équilatéral (chacun de ses angles mesure 180° − 120° = 60°). Script 2 : 6 côtés de 30 pas et 6 × 60° = 360°, avec des angles de 180° − 60° = 120° : c'est un hexagone régulier. Le script 1 donne donc le dessin 2 (le triangle équilatéral) et le script 2 donne le dessin 1 (l'hexagone régulier).

, question 2. Le losange a 4 côtés de 30 pas et la boucle n'est répétée que 2 fois : chaque passage doit donc tracer 2 côtés. Elle contient déjà « avancer de 30 pas » ; la partie effacée doit fournir le second côté, c'est-à-dire l'instruction C, encadré par les deux rotations. À chaque sommet le lutin tourne du supplémentaire de l'angle du losange : pour un angle de 120° il tourne de 180° − 120° = 60°, et pour un angle de 60° il tourne de 180° − 60° = 120°. Le lutin part du sommet où l'angle vaut 120° et arrive, après le premier côté, au sommet où l'angle vaut 60° : il y tourne donc de 120°. Il trace le deuxième côté, atteint un sommet d'angle 120° et y tourne de 60°.

Les instructions cachées, dans l'ordre, sont donc : tourner de 120 degrés (instruction B) ; avancer de 30 pas (instruction C) ; tourner de 60 degrés (instruction A). Contrôle : sur les deux passages de la boucle, le lutin tourne au total de 2 × (120° + 60°) = 360°, il retrouve son orientation initiale et le losange est bien refermé sur son point de départ.

Le script n'a que deux déroulements possibles, selon le résultat du tirage aléatoire. Si le nombre tiré est 3, la condition « si Motif = 3 » est vraie : le lutin exécute 6 fois le bloc Motif 3 en avançant de 60 pas entre deux exécutions. Comme le motif ramène le lutin exactement à son point de départ avec la même orientation, et qu'il relève le stylo à la fin, on obtient 6 losanges identiques, alignés horizontalement et régulièrement espacés de 60 pas, puis le message « Voici le dessin ! ». Si le nombre tiré est 1 ou 2, la condition est fausse : aucun tracé n'est effectué, la scène reste vide (elle vient d'être vidée par « effacer tout ») et le lutin dit « Perdu ! ».

Les deux seules captures d'écran possibles sont donc la capture n° 2, la seule qui montre les 6 losanges alignés et régulièrement espacés avec le message « Voici le dessin ! », et la capture n° 3, la seule qui affiche le message « Perdu ! » sur une scène vide. Les captures n° 1, 4 et 5 associent le message « Voici le dessin ! » à un tracé que ce script ne peut pas produire.

Le bloc « nombre aléatoire entre 1 et 3 » donne 1, 2 ou 3, chacun de ces trois nombres ayant la même probabilité d'être tiré : on est en situation d'équiprobabilité avec 3 issues possibles. Le message « Voici le dessin ! » n'est affiché que dans le seul cas où le nombre tiré est 3, ce qui fait 1 cas favorable. La probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » est donc 13, soit environ 0,333 ou 33,3 %.

a. La fréquence d'une issue est le quotient de son effectif par l'effectif total. Ici l'affichage « Voici le dessin ! » a été obtenu 40 fois sur 100 lancers : fréquence = 40100 = 0,4, soit 40 %.

b. La fréquence observée, 0,4, ne coïncide pas avec la probabilité théorique, 13 ≈ 0,333 : c'est normal. Une fréquence est le résultat d'une expérience et elle change d'une série de 100 lancers à l'autre — c'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage. La probabilité, elle, est une valeur théorique fixe. D'après la loi des grands nombres, la fréquence se rapproche de la probabilité lorsque le nombre de répétitions devient très grand ; avec seulement 100 lancers, un écart de cet ordre est tout à fait attendu.