Sujet officiel · session 2026

Bac de maths 2026 — Centres étrangers · juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 4 exercices.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Probabilités conditionnelles Moyen

Conformité des lames d'escrime

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité. Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test. Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur A, de 12 % de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C. Une étude qualité a montré que : 90 % des lames du fournisseur A étaient conformes ; 95 % des lames du fournisseur B étaient conformes ; 85 % des lames du fournisseur C étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier. On considère les évènements suivants : A : « La lame testée provient du fournisseur A » ; B : « La lame testée provient du fournisseur B » ; C : « La lame testée provient du fournisseur C » ; T : « La lame testée est conforme ». On note T̄ l'évènement contraire de T.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation. [Arbre à compléter : d'un nœud initial partent trois branches menant respectivement à A, à B et à C ; de chacun de ces trois nœuds partent deux branches menant à T et à T̄. Aucune probabilité n'est inscrite sur l'arbre, elles sont toutes à déterminer.]

2. Déterminer P(A ∩ T̄) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de 0,892.

4. Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à 0,108. Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de 75 lames provenant de son stock. On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante. De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.

3. L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à 50 %. A-t-il raison ?

Partie C

Soit n un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent. Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames. Les variables aléatoires X₁, …, X_n, que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes. On pose M_n = X₁ + X₂ + ⋯ + X_nn.

1. Déterminer l'espérance E(M_n) et la variance V(M_n) de la variable aléatoire M_n.

2. Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel n non nul : P(|M_n − 8,1| > 2) ⩽ 1,8063n.

3. Déterminer une valeur de l'entier n à partir de laquelle P(|M_n − 8,1| < 2) > 0,95. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Voir la correction

Corrigé Exercice 1 Conformité des lames d'escrime Revoir l'énoncé

Partie A1.
le stock se répartit entre les trois fournisseurs, donc P(A) = 0,60, P(B) = 0,12 et P(C) = 1 − 0,60 − 0,12 = 0,28 sur les trois branches issues du nœud initial. Sur les branches du second niveau : P_A(T) = 0,90 et P_A(T̄) = 0,10 ; P_B(T) = 0,95 et P_B(T̄) = 0,05 ; P_C(T) = 0,85 et P_C(T̄) = 0,15. À chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut bien 1.
2.
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent, donc P(A ∩ T̄) = P(A) × P_A(T̄) = 0,60 × 0,10 = 0,06. Interprétation : 6 % des lames vendues par l'équipementier proviennent du fournisseur A et ne sont pas conformes.
3.
les évènements A, B et C forment une partition de l'univers (chaque lame vient d'un seul des trois fournisseurs). D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(A ∩ T) + P(B ∩ T) + P(C ∩ T) = 0,60 × 0,90 + 0,12 × 0,95 + 0,28 × 0,85 = 0,54 + 0,114 + 0,238 = 0,892. La probabilité que la lame testée soit conforme est donc bien égale à 0,892.
4.
on cherche une probabilité conditionnelle sachant T̄, soit P_T̄(B) = P(B ∩ T̄)P(T̄). Or P(T̄) = 1 − P(T) = 1 − 0,892 = 0,108 et P(B ∩ T̄) = P(B) × P_B(T̄) = 0,12 × 0,05 = 0,006. D'où P_T̄(B) = 0,0060,108 = 118 ≈ 0,0556. Sachant que la lame testée n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B vaut environ 0,056 au millième.
Partie B1.
on répète 75 fois, de façon identique et indépendante (le tirage est assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve de Bernoulli dont le succès « la lame n'est pas conforme » a pour probabilité 0,108 ; X compte le nombre de succès. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 75 et p = 0,108, notée B(75 ; 0,108).
2.
la formule de la loi binomiale donne P(X = 6) = C(75 ; 6) × 0,108⁶ × 0,892⁶⁹, avec C(75 ; 6) = 201 359 550. La calculatrice donne P(X = 6) ≈ 0,120 140. La probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans l'échantillon est donc environ 0,120, arrondie au millième.
3.
X étant à valeurs entières, « strictement plus de 8 » signifie X ⩾ 9, donc P(X > 8) = 1 − P(X ⩽ 8). La calculatrice donne P(X ⩽ 8) ≈ 0,578, d'où P(X > 8) ≈ 0,422. Comme 0,422 < 0,50, l'équipementier a raison. (Piège à éviter : P(X ⩾ 8) ≈ 0,570 dépasse 0,5 ; il faut bien exclure la valeur 8.)
Partie C1.
chaque X_i suit la même loi que X, c'est-à-dire B(75 ; 0,108), donc E(X_i) = np = 75 × 0,108 = 8,1 et V(X_i) = np(1 − p) = 75 × 0,108 × 0,892 = 7,2252. M_n = X₁ + ⋯ + X_nn est la variable aléatoire moyenne de l'échantillon. Par linéarité de l'espérance, E(M_n) = (1n) × (E(X₁) + ⋯ + E(X_n)) = (1n) × n × 8,1 = 8,1. Pour la variance, on utilise V(aY) = a² V(Y) puis le fait que les X_i sont indépendantes, ce qui permet d'additionner leurs variances : V(M_n) = (1n²) × (V(X₁) + ⋯ + V(X_n)) = (1n²) × n × 7,2252 = 7,2252n. Ainsi E(M_n) = 8,1 et V(M_n) = 7,2252n.
2.
l'inégalité de concentration appliquée à la moyenne M_n d'un échantillon de taille n de la variable X s'écrit, pour tout réel δ > 0 : P(|M_n − E(X)| ⩾ δ) ⩽ V(X)n δ². Avec E(X) = 8,1, V(X) = 7,2252 et δ = 2 : P(|M_n − 8,1| ⩾ 2) ⩽ 7,2252n × 2² = 7,22524n = 1,8063n. Il reste à passer de « ⩾ 2 » à « > 2 » : l'évènement (|M_n − 8,1| > 2) est inclus dans l'évènement (|M_n − 8,1| ⩾ 2), et la probabilité est croissante pour l'inclusion, donc P(|M_n − 8,1| > 2) ⩽ P(|M_n − 8,1| ⩾ 2) ⩽ 1,8063n : c'est bien l'inégalité demandée.
3.
les évènements (|M_n − 8,1| < 2) et (|M_n − 8,1| ⩾ 2) sont contraires l'un de l'autre, donc P(|M_n − 8,1| < 2) = 1 − P(|M_n − 8,1| ⩾ 2) ⩾ 1 − 1,8063n d'après la majoration établie à la question précédente. Il suffit donc de rendre ce minorant strictement supérieur à 0,95 : 1 − 1,8063n > 0,95 ⟺ 1,8063n < 0,05 ⟺ n > 1,80630,05 = 36,126. Le plus petit entier qui convient est n = 37 : on a alors 1,806337 ≈ 0,0488 et P(|M₃₇ − 8,1| < 2) ⩾ 1 − 0,0488 = 0,9512 > 0,95, alors que n = 36 donne 1,806336 ≈ 0,0502 et un minorant de 0,9498, insuffisant. Interprétation : à partir de 37 compétitions, l'équipementier peut affirmer avec plus de 95 % de chances que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon de 75 s'écarte de moins de 2 unités de 8,1, c'est-à-dire est compris strictement entre 6,1 et 10,1 lames.

Énoncé Exercice 2 Suites numériques Moyen

Cinq affirmations à justifier

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l'équation différentielle suivante où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur ℝ. (E) : y′ + y = 2 cos(x)

Affirmation 1 La fonction f définie sur ℝ par f(x) = 4 e^−x + cos(x) + sin(x) est solution de l'équation différentielle (E).

2. On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par f(x) = 2x et g(x) = sin(x). On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère et C_g celle de la fonction g.

Affirmation 2 Les courbes C_f et C_g ont un seul point d'intersection.

3. On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par : v_n = 2n + sin(n)n + 1

Affirmation 3 La suite (v_n) diverge.

4. On considère la suite (u_n) définie par u₁ = 1 et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : u_n+1 = u_n + 2n + 1

Affirmation 4 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 on a u_n = n².

5. On considère la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_n = e⁻ⁿ. On pose, pour tout entier naturel n, S_n = u₀ + u₁ + u₂ + ⋯ + u_n.

Affirmation 5 lim(n→+∞) S_n = ee − 1.

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Corrigé Exercice 2 Cinq affirmations à justifier Revoir l'énoncé

Affirmation 1
VRAIE. f est dérivable sur ℝ et, en dérivant e^−x en −e^−x, on obtient f′(x) = −4 e^−x − sin(x) + cos(x). On calcule alors la somme demandée par l'équation : f′(x) + f(x) = (−4 e^−x − sin(x) + cos(x)) + (4 e^−x + cos(x) + sin(x)). Les termes en e^−x se compensent, ainsi que −sin(x) et +sin(x) ; il reste cos(x) + cos(x) = 2 cos(x). f vérifie donc y′ + y = 2 cos(x) sur ℝ : elle est bien solution de (E).
Affirmation 2
VRAIE. Un point commun à C_f et C_g a une abscisse x vérifiant 2x = sin(x), c'est-à-dire h(x) = 0 en posant h(x) = 2x − sin(x). h est dérivable sur ℝ et h′(x) = 2 − cos(x) ; or cos(x) ⩽ 1 pour tout réel x, donc h′(x) ⩾ 1 > 0 : h est strictement croissante sur ℝ. Une fonction strictement croissante s'annule au plus une fois ; comme h(0) = 2 × 0 − sin(0) = 0 − 0 = 0, l'équation h(x) = 0 admet exactement une solution, x = 0. Les deux courbes ont donc un seul point d'intersection, l'origine du repère.
Affirmation 3
FAUSSE. Pour tout entier naturel n, −1 ⩽ sin(n) ⩽ 1, donc 2n − 1 ⩽ 2n + sin(n) ⩽ 2n + 1. Comme n + 1 > 0, on divise par n + 1 sans changer le sens des inégalités : 2n − 1n + 1 ⩽ v_n ⩽ 2n + 1n + 1. Or 2n − 1n + 1 = 2(n + 1) − 3n + 1 = 2 − 3n + 1 et 2n + 1n + 1 = 2 − 1n + 1. Comme 1n + 1 → 0, ces deux suites encadrantes tendent vers 2. D'après le théorème des gendarmes, lim(n→+∞) v_n = 2 : la suite (v_n) converge (vers 2), elle ne diverge donc pas.
Affirmation 4
VRAIE. On démontre par récurrence la propriété P(n) : « u_n = n² », pour n ⩾ 1. Initialisation : u₁ = 1 et 1² = 1, donc P(1) est vraie. Hérédité : soit n ⩾ 1 tel que P(n) soit vraie, c'est-à-dire u_n = n². Alors, avec la relation de récurrence, u_n+1 = u_n + 2n + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² d'après l'identité remarquable : P(n + 1) est vraie. Conclusion : d'après le principe de récurrence, u_n = n² pour tout entier n ⩾ 1.
Affirmation 5
VRAIE. Pour tout n, u_n = e⁻ⁿ = (e⁻¹)ⁿ : (u_n) est géométrique de raison q = e⁻¹ = 1e et de premier terme u₀ = 1. S_n est la somme de ses n + 1 premiers termes, donc S_n = u₀ × 1 − qⁿ⁺¹1 − q = 1 − e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾1 − 1/e. Comme 0 < 1e < 1, on a lim(n→+∞) qⁿ⁺¹ = 0, d'où lim(n→+∞) S_n = 11 − 1/e. En multipliant numérateur et dénominateur par e : 11 − 1/e = ee − 1. La limite annoncée est donc exacte.

Énoncé Exercice 3 Géométrie dans l'espace Difficile

Géométrie dans un cube

On considère le cube ABCDEFGH. On munit l'espace du repère orthonormé (A ; AB, AD, AE). Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE]. [Le cube est dessiné avec la face ABCD à la base et la face EFGH au-dessus, E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C et H au-dessus de D ; les points I, J et K sont marqués sur la figure.]

1. Donner les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Déterminer la valeur du produit scalaire AI · AJ.

b. En déduire la mesure de l'angle IÂJ arrondie au dixième de degré.

3. a. Démontrer que le vecteur KC est un vecteur normal au plan (AIJ).

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (AIJ) est x + y − (12) z = 0.

4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).

a. Déterminer les coordonnées du point L.

b. En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à 43.

5. Soit M un point de la droite (FG). On admet que les coordonnées de M sont (1 ; m ; 1) avec m appartenant à ℝ.

a. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IM) est x = (12)s + 12, y = ms, z = 1 avec s ∈ ℝ.

b. Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de m ?

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Corrigé Exercice 3 Géométrie dans un cube Revoir l'énoncé

1 : le repère est (A ; AB, AD, AE), donc les sommets du cube ont pour coordonnées A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), puis C(1 ; 1 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), H(0 ; 1 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1). Les coordonnées d'un milieu sont les demi-sommes de celles des extrémités : I, milieu de [EF], a pour coordonnées (0 + 12 ; 0 ; 1) = (12 ; 0 ; 1) ; de même J(0 ; 12 ; 1) et K(0 ; 0 ; 12).
2.a : les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant celles de l'origine à celles de l'extrémité : AI(12 ; 0 ; 1) et AJ(0 ; 12 ; 1). Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire : AI · AJ = 12 × 0 + 0 × 12 + 1 × 1 = 1.
2.b : toujours parce que le repère est orthonormé, ‖AI‖ = √(12)² + 0² + 1² = √54 = √52, et de même ‖AJ‖ = √52. L'expression trigonométrique du produit scalaire donne AI · AJ = ‖AI‖ × ‖AJ‖ × cos(IÂJ), soit 1 = (√52) × (√52) × cos(IÂJ) = (54) cos(IÂJ). Donc cos(IÂJ) = 45 = 0,8, d'où IÂJ ≈ 36,9° au dixième de degré près.
3.a : KC a pour coordonnées (1 − 0 ; 1 − 0 ; 0 − 12) = (1 ; 1 ; −12). On calcule deux produits scalaires : KC · AI = 1 × 12 + 1 × 0 + (−12) × 1 = 12 − 12 = 0 et KC · AJ = 1 × 0 + 1 × 12 + (−12) × 1 = 12 − 12 = 0. KC est donc orthogonal à AI et à AJ. Or ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : la première coordonnée de AJ est nulle, pas celle de AI), donc ils forment une base du plan (AIJ). Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan : KC est normal à (AIJ).
3.b : un plan de vecteur normal n(a ; b ; c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0. Ici n = KC(1 ; 1 ; −12), donc l'équation s'écrit x + y − (12)z + d = 0. Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan (AIJ), donc ses coordonnées vérifient l'équation : 0 + 0 − 0 + d = 0, soit d = 0. Une équation cartésienne du plan (AIJ) est bien x + y − (12)z = 0.
4.a : comme KC est normal à (AIJ), la droite passant par C et de vecteur directeur KC est orthogonale au plan ; le projeté orthogonal L de C est donc le point d'intersection de cette droite et du plan. Cette droite a pour représentation paramétrique x = 1 + t, y = 1 + t, z = 0 − (12)t, avec t ∈ ℝ. On reporte dans l'équation du plan : (1 + t) + (1 + t) − (12) × (−(12)t) = 0, soit 2 + 2t + t4 = 0, c'est-à-dire 2 + (94)t = 0, d'où t = −89. En remplaçant : L(1 − 89 ; 1 − 89 ; 49), soit L(19 ; 19 ; 49).
4.b : la distance d'un point à un plan est la distance de ce point à son projeté orthogonal, ici CL. Dans un repère orthonormé, CL = √(19 − 1)² + (19 − 1)² + (49 − 0)² = √(−89)² + (−89)² + (49)² = √64 + 64 + 1681 = √14481 = 129 = 43. La distance du point C au plan (AIJ) vaut donc bien 43.
5.a : IM = (1 − 12 ; m − 0 ; 1 − 1) = (12 ; m ; 0). La droite (IM) passe par I(12 ; 0 ; 1) et admet IM pour vecteur directeur : un point de coordonnées (x ; y ; z) lui appartient si et seulement s'il existe un réel s tel que x = 12 + (12)s, y = 0 + ms et z = 1 + 0 × s. On obtient bien x = (12)s + 12, y = ms, z = 1, avec s ∈ ℝ.
5.b : NON. Les vecteurs directeurs IM(12 ; m ; 0) et KC(1 ; 1 ; −12) ne sont jamais colinéaires (la troisième coordonnée de IM est nulle et celle de KC ne l'est pas), donc les droites ne sont jamais parallèles : elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes. Un point de (KC) s'écrit (1 + t ; 1 + t ; −t2). L'égaler à un point de (IM) donne un système de trois équations : la troisième, −t2 = 1, impose t = −2 ; la première, 1 + t = 12 + s2, devient alors −1 = 12 + s2, soit s = −3 ; la deuxième, 1 + t = ms, s'écrit enfin −1 = −3m, d'où m = 13. Le système n'a donc de solution que pour m = 13 : les droites (IM) et (KC) sont sécantes, donc coplanaires, uniquement dans ce cas, et non coplanaires pour toute autre valeur de m. On ne peut pas affirmer qu'elles sont coplanaires quelle que soit la valeur de m.

Énoncé Exercice 4 Fonction logarithme Difficile

Fonction f(x) = ln(x)x²

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = ln(x)x². On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[. On note f′ sa fonction dérivée et f″ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

1. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l'intervalle ]0 ; +∞[.

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Pour tout réel strictement positif x, démontrer que f'(x) = 1 − 2 ln(x)x³.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

4. Déterminer l'équation réduite de la droite Δ, tangente à la courbe C_f au point A d'abscisse 1.

5. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, on a f″(x) = −5 + 6 ln(x)x⁴.

6. a. Étudier la convexité de la fonction f en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.

b. En déduire que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; e⁵⁶], on a x − 1 > ln(x)x².

7. Justifier que, pour tout réel x appartenant à [e⁵⁶ ; +∞[, on a aussi x − 1 > ln(x)x².

Partie B

On considère la suite (I_n) définie, pour tout entier naturel non nul n, par : I_n = ∫₁ⁿ (ln(x)x²) dx.

1. Donner une interprétation graphique de I_n pour n un entier naturel non nul.

2. Démontrer que la suite (I_n) est croissante.

3. On souhaite calculer une approximation de ∫₁¹⁰ f(x) dx en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous. [Le graphique montre la courbe C_f pour x allant de 0 à 11, l'axe des ordonnées étant gradué de 0 à 0,25. Neuf rectangles de largeur 1 y sont tracés : ils s'appuient sur les segments [1 ; 2], [2 ; 3], …, [9 ; 10] de l'axe des abscisses et le côté supérieur de chacun passe par le point le plus haut de la courbe au-dessus de sa base, de sorte que chaque rectangle recouvre la portion de domaine correspondante.]

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

from math import *

S=12*exp(1)

for i in range (2,10):

S =...

print(S)

Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.

4. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul n, I_n = n − 1 − ln(n)n.

5. Calculer la limite de la suite (I_n) quand n tend vers +∞.

Voir la correction

Corrigé Exercice 4 Fonction f(x) = ln(x)x² Revoir l'énoncé

Partie A1.a.
en 0⁺, le numérateur ln(x) tend vers −∞ tandis que le dénominateur x² tend vers 0 en restant strictement positif ; par quotient, lim(x→0⁺) f(x) = −∞. En +∞, on est face à une forme indéterminée « ∞/∞ » ; on écrit f(x) = (ln(x)x) × (1x). Par croissances comparées, ln(x)x → 0, et 1x → 0, donc par produit lim(x→+∞) f(x) = 0.
1.b.
une limite infinie en une borne finie signale une asymptote verticale : la droite d'équation x = 0, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à C_f. Une limite finie ℓ en +∞ signale une asymptote horizontale : la droite d'équation y = 0, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à C_f au voisinage de +∞.
2.
f = uv avec u(x) = ln(x) et v(x) = x², donc u′(x) = 1x et v′(x) = 2x. La formule de dérivation d'un quotient (uv)′ = u′v − uv′v² donne, pour tout x > 0 : f′(x) = ((1x) × x² − ln(x) × 2x) / (x²)² = x − 2x ln(x)x⁴. On factorise x au numérateur puis on simplifie par x : f′(x) = x(1 − 2 ln(x))x⁴ = 1 − 2 ln(x)x³.
3.
sur ]0 ; +∞[ on a x³ > 0, donc f′(x) est du signe de son numérateur 1 − 2 ln(x). Or 1 − 2 ln(x) > 0 ⟺ ln(x) < 12 ⟺ x < e¹² = √e, car la fonction exponentielle est strictement croissante. Donc f est strictement croissante sur ]0 ; √e] et strictement décroissante sur [√e ; +∞[ ; f′ s'annule en changeant de signe en √e, où f atteint un maximum. Valeur exacte de ce maximum : f(√e) = ln(√e)√e² = (12) / e = 12e ≈ 0,184. Tableau de variation : sur ]0 ; √e], f croît de −∞ (limite en 0⁺) jusqu'à 12e ; sur [√e ; +∞[, f décroît de 12e jusqu'à 0 (limite en +∞).
4.
l'équation réduite de la tangente à C_f au point d'abscisse a est y = f′(a)(x − a) + f(a). Ici a = 1 : f(1) = ln(1)1² = 0 et f′(1) = 1 − 2 ln(1)1³ = 1 − 01 = 1. D'où Δ : y = 1 × (x − 1) + 0, soit Δ : y = x − 1. Le point de tangence est A(1 ; 0).
5.
on dérive f′ = gh avec g(x) = 1 − 2 ln(x) et h(x) = x³, donc g′(x) = −2x et h′(x) = 3x². La formule du quotient donne f″(x) = g′h − gh′h² = ((−2x) × x³ − (1 − 2 ln(x)) × 3x²) / (x³)² = −2x² − 3x² + 6x² ln(x)x⁶. On factorise x² au numérateur et on simplifie : f″(x) = x²−5 + 6 ln(x)x⁶ = −5 + 6 ln(x)x⁴, ce qu'il fallait vérifier.
6.a.
la convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde. Sur ]0 ; +∞[, x⁴ > 0, donc f″(x) est du signe de −5 + 6 ln(x). Or −5 + 6 ln(x) ⩾ 0 ⟺ ln(x) ⩾ 56 ⟺ x ⩾ e⁵⁶. Ainsi f″ ⩽ 0 sur ]0 ; e⁵⁶] : f y est concave ; f″ ⩾ 0 sur [e⁵⁶ ; +∞[ : f y est convexe. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en e⁵⁶ : la courbe y traverse sa tangente, c'est donc un point d'inflexion. Son ordonnée vaut f(e⁵⁶) = ln(e⁵⁶) / (e⁵⁶)² = (56) / e⁵³ = 56 e^5/3. Le seul point d'inflexion de C_f est le point de coordonnées (e⁵⁶ ; 56 e^5/3), soit environ (2,30 ; 0,157).
6.b.
une fonction concave sur un intervalle a sa courbe située au-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. Or f est concave sur ]0 ; e⁵⁶] et le point de tangence A a pour abscisse 1, qui appartient bien à cet intervalle puisque 0 < 1 < e⁵⁶ ≈ 2,30. Donc, pour tout x de ]0 ; e⁵⁶], C_f est sous Δ : f(x) ⩽ x − 1, c'est-à-dire ln(x)x² ⩽ x − 1. Précision importante : l'énoncé écrit une inégalité stricte, mais en x = 1 les deux membres valent 0 (Δ touche C_f en A) ; l'inégalité correcte est donc large sur ]0 ; e⁵⁶], et elle est stricte pour tout x ≠ 1 de cet intervalle.
7.
ici on n'a plus la concavité, on compare les deux membres séparément. D'une part 56 > 12 donc e⁵⁶ > √e, et f est strictement décroissante sur [√e ; +∞[ : pour tout x ⩾ e⁵⁶, f(x) ⩽ f(e⁵⁶) = 56 e^5/3. Comme e⁵³ > 1, on a 56 e^5/3 < 56 < 1. D'autre part la fonction x ↦ x − 1 est croissante, donc pour tout x ⩾ e⁵⁶, x − 1 ⩾ e⁵⁶ − 1 ; or e⁵ ≈ 148 > 64 = 2⁶, donc e⁵⁶ > 2 et e⁵⁶ − 1 > 1. En chaînant : ln(x)x² = f(x) ⩽ 56 e^5/3 < 1 < e⁵⁶ − 1 ⩽ x − 1. Pour tout x de [e⁵⁶ ; +∞[ on a donc bien x − 1 > ln(x)x², cette fois avec une inégalité strictement vérifiée.
Partie B1.
sur l'intervalle d'intégration [1 ; n] on a x ⩾ 1, donc ln(x) ⩾ 0, et x² > 0 : la fonction f est positive sur [1 ; n]. L'intégrale d'une fonction continue et positive s'interprète comme une aire : I_n est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe C_f, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = 1 et x = n. (Pour n = 1, les deux bornes sont confondues et I₁ = 0.)
2.
soit n un entier naturel non nul. D'après la relation de Chasles, I_n+1 − I_n = ∫₁ⁿ⁺¹ f(x) dx − ∫₁ⁿ f(x) dx = ∫_nⁿ⁺¹ f(x) dx. Sur [n ; n + 1] on a x ⩾ n ⩾ 1, donc f(x) ⩾ 0 ; l'intégrale d'une fonction positive entre deux bornes rangées dans l'ordre croissant est positive, donc I_n+1 − I_n ⩾ 0. Comme I_n+1 ⩾ I_n pour tout n ⩾ 1, la suite (I_n) est croissante.
3.
chaque rectangle a pour largeur 1 et pour hauteur la plus grande valeur de f sur sa base, ce qui explique le script. Le premier rectangle s'appuie sur [1 ; 2] ; cet intervalle contient √e ≈ 1,65, où f atteint son maximum, donc sa hauteur est f(√e) = 12e et son aire vaut 1 × 12e = 12e : c'est exactement l'initialisation S=12*exp(1). Pour i allant de 2 à 9, on a i ⩾ 2 > √e, donc f est décroissante sur [i ; i + 1] et son maximum y est atteint en i : la hauteur du rectangle est f(i) = ln(i)i² et son aire vaut également ln(i)i². Il faut donc cumuler ces huit aires dans S. En Python, log désigne le logarithme népérien et ** l'élévation à la puissance. Le script complété est : from math import * S=12*exp(1) for i in range (2,10): S = S + log(i)i**2 print(S) La ligne demandée est donc S = S + log(i)i**2. Le script affiche S ≈ 0,779, majorant de ∫₁¹⁰ f(x) dx.
4.
on pose u(x) = ln(x) et v′(x) = 1x², d'où u′(x) = 1x et v(x) = −1x. Les fonctions u et v sont dérivables sur [1 ; n] et leurs dérivées y sont continues, donc on peut appliquer la formule d'intégration par parties ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx. Ici : I_n = [−ln(x)x]₁ⁿ − ∫₁ⁿ (1x) × (−1x) dx = (−ln(n)n + ln(1)1) + ∫₁ⁿ (1x²) dx. Or ln(1) = 0 et ∫₁ⁿ (1x²) dx = [−1x]₁ⁿ = −1n + 1. Donc I_n = −ln(n)n + 1 − 1n, et en réduisant au même dénominateur n : I_n = n − 1 − ln(n)n, ce qu'il fallait démontrer.
5.
on repart de la forme développée obtenue ci-dessus, I_n = 1 − 1n − ln(n)n. Quand n → +∞, 1n → 0 et, par croissances comparées, ln(n)n → 0. Par somme de limites, lim(n→+∞) I_n = 1 − 0 − 0 = 1. La suite (I_n), croissante et majorée par 1, converge donc vers 1 : l'aire sous la courbe C_f entre 1 et n tend vers 1 unité d'aire.