Sujet officiel · session 2026

Bac de maths 2026 — Asie · 10 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 4 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Suites numériques Moyen

Suite définie par une fonction

Partie A

On considère la fonction f définie sur ]−∞ ; 32[ par f(x) = x − 22x − 3.

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous. [Tableau donné dans le sujet : sur ]−∞ ; 32[, f est croissante ; la valeur limite en −∞ est 12 et la limite à gauche en 32 est +∞.]

2. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 1], on a f(x) ∈ [0 ; 1].

Partie B

On considère la suite (uₙ) définie par u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = uₙ − 22uₙ − 3.

1. En utilisant la fonction f, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 1.

2. En déduire que la suite (uₙ) converge.

3. On note ℓ la limite de la suite (uₙ). En admettant que ℓ est solution de l'équation f(x) = x sur l'intervalle [0 ; 1], montrer que ℓ = 1.

4. On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.

def seuil(h):

n = 0

u = 0

while u < 1-h:

n = n+1

u = u-22*u-3

return n

L'appel seuil(0.0001) renvoie la valeur 5 000. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

5. a. Donner les quatre premiers termes de la suite (uₙ) sous forme de fractions irréductibles.

b. Conjecturer l'expression de uₙ en fonction de n et démontrer cette conjecture.

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Corrigé Exercice 1 Suite définie par une fonction Revoir l'énoncé

Partie A
· 1. f est un quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur 2x − 3 ne s'annule pas sur ]−∞ ; 32[ : f y est donc dérivable. Avec u(x) = x − 2 et v(x) = 2x − 3, la formule (uv)′ = u′v − uv′v² donne f′(x) = [1×(2x − 3) − (x − 2)×2]/(2x − 3)² = 2x − 3 − 2x + 42x − 3² = 12x − 3². Un carré est strictement positif, donc f′(x) > 0 : f est strictement croissante sur ]−∞ ; 32[.
Limites aux bornes. En −∞, on factorise par le terme de plus haut degré : f(x) = x(1 − 2x)/[x(2 − 3x)] = (1 − 2x)/(2 − 3x) ; comme 2x → 0 et 3x → 0, le quotient des limites donne lim f(x) = 12 quand x → −∞. En 32 avec x < 32 : le numérateur tend vers 32 − 2 = −12 < 0 et le dénominateur 2x − 3 tend vers 0 en restant négatif, donc le quotient tend vers +∞. Tous les éléments du tableau sont ainsi justifiés.
Partie A
· 2. L'intervalle [0 ; 1] est inclus dans ]−∞ ; 32[ et f y est strictement croissante : elle conserve donc l'ordre. Pour 0 ≤ x ≤ 1 on a f(0) ≤ f(x) ≤ f(1), avec f(0) = 0 − 20 − 3 = −2−3 = 23 et f(1) = 1 − 22 − 3 = −1−1 = 1. Ainsi f(x) ∈ [23 ; 1] et, puisque 0 ≤ 23, on conclut : pour tout x ∈ [0 ; 1], f(x) ∈ [0 ; 1].
Partie B
· 1. La relation de récurrence s'écrit exactement uₙ₊₁ = f(uₙ). Initialisation : u₀ = 0 et u₁ = f(0) = 23 ; on a bien 0 ≤ 0 ≤ 23 ≤ 1, soit 0 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 1.
Hérédité : soit n ∈ ℕ. Supposons que 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 1 pour cet entier n. Ces nombres appartiennent à [0 ; 1] où f est strictement croissante, donc f(0) ≤ f(uₙ) ≤ f(uₙ₊₁) ≤ f(1), c'est-à-dire 23 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 1. Comme 0 ≤ 23, on obtient 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 1 : la propriété se transmet. Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout n ∈ ℕ, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 1.
Partie B
· 2. L'encadrement précédent donne uₙ ≤ uₙ₊₁ pour tout n, donc (uₙ) est croissante, et uₙ ≤ 1 pour tout n, donc elle est majorée par 1. D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite (uₙ) converge vers un réel ℓ vérifiant 0 ≤ ℓ ≤ 1.
· 3. Sur [0 ; 1] le dénominateur 2x − 3 ne s'annule pas, donc f(x) = x ⟺ x − 22x − 3 = x ⟺ x − 2 = x(2x − 3) ⟺ x − 2 = 2x² − 3x ⟺ 2x² − 4x + 2 = 0 ⟺ x² − 2x + 1 = 0 ⟺ (x − 1)² = 0 ⟺ x = 1. L'équation admet 1 pour unique solution sur [0 ; 1], donc ℓ = 1 : la suite (uₙ) converge vers 1.
· 4. Dans le script, u contient uₙ et n compte les itérations : la boucle « while u < 1-h » continue tant que uₙ < 1 − h et s'arrête au premier rang où uₙ ≥ 1 − h. Donc seuil(h) renvoie le plus petit entier n tel que uₙ ≥ 1 − h. Avec h = 0,0001 : seuil(0.0001) = 5 000 signifie que u₅₀₀₀ est le premier terme supérieur ou égal à 0,9999. Autrement dit, c'est à partir du rang 5 000 que les termes de la suite approchent leur limite 1 à moins de 10⁻⁴ près.
· 5.a. u₀ = 0 ; u₁ = 0 − 22×0 − 3 = −2−3 = 23 ; u₂ = (23 − 2)/(43 − 3) = (−43)/(−53) = 45 ; u₃ = (45 − 2)/(85 − 3) = (−65)/(−75) = 67. Les quatre premiers termes sont donc 0, 23, 45 et 67.
· 5.b. Les numérateurs 0, 2, 4, 6 valent 2n et les dénominateurs 1, 3, 5, 7 valent 2n + 1 : on conjecture uₙ = 2n/(2n + 1). Démonstration par récurrence. Initialisation : 2×02×0 + 1 = 01 = 0 = u₀. Hérédité : soit n ∈ ℕ. Supposons uₙ = 2n/(2n + 1) pour cet entier n. Le numérateur de uₙ₊₁ vaut uₙ − 2 = [2n − 2(2n + 1)]/(2n + 1) = −2n − 22n + 1 et son dénominateur vaut 2uₙ − 3 = [4n − 3(2n + 1)]/(2n + 1) = −2n − 32n + 1. En simplifiant par (2n + 1) : uₙ₊₁ = −2n − 2−2n − 3 = 2n + 22n + 3 = 2(n + 1)/[2(n + 1) + 1], qui est la formule au rang n + 1. Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, uₙ = 2n/(2n + 1). On retrouve bien lim uₙ = 1, cohérent avec la question 3.

Énoncé Exercice 2 Loi binomiale Moyen

Lancers-francs de basketball

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice. On arrondira, si nécessaire, les résultats à 10⁻³ près.

Dans cet exercice, on s'intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s'effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d'un joueur sont de 49,2 % lors d'une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d'un lancer-franc. Au cours d'un match, ce joueur tente 16 lancers-francs. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X et l'interpréter dans le contexte de cet exercice.

3. Calculer P(X = 5).

4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Partie B

On note p la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où p est un réel tel que 0 ≤ p ≤ 1. On se place dans le cas où le joueur effectue 3 lancers-francs. On désigne par Y la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.

2. Exprimer P(Y = 2) en fonction de p.

3. Donner la loi de probabilité de Y. Présenter la réponse sous forme de tableau.

4. Montrer que P(Y ≥ 2) = −2p³ + 3p².

5. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x) = −2x³ + 3x².

a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l'intervalle [0 ; 1].

b. En déduire l'existence d'une unique valeur α dans l'intervalle [0 ; 1] telle que f(α) = 0,9.

c. Donner un encadrement d'amplitude 10⁻² de cette valeur α.

d. Interpréter la valeur de α dans le contexte de l'exercice.

Voir la correction

Corrigé Exercice 2 Lancers-francs de basketball Revoir l'énoncé

Partie A
· 1. Chaque lancer-franc est une épreuve de Bernoulli à deux issues : « réussi » (succès, de probabilité p = 0,492) ou « manqué » (échec, de probabilité 0,508). L'énoncé précise que le joueur répète n = 16 fois cette épreuve dans des conditions identiques et que les lancers sont indépendants deux à deux ; X compte le nombre de succès. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 16 et p = 0,492, notée B(16 ; 0,492).
· 2. Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance vaut E(X) = n × p = 16 × 0,492 = 7,872. Interprétation : si ce joueur disputait un grand nombre de matchs de 16 lancers-francs, il en réussirait en moyenne 7,872 par match, soit un peu moins de 8 lancers sur 16.
· 3. La loi binomiale donne P(X = k) = C(16 ; k) × p^k × (1 − p)^16−k. Pour k = 5 : P(X = 5) = C(16 ; 5) × 0,492⁵ × 0,508¹¹ = 4 368 × 0,492⁵ × 0,508¹¹ ≈ 0,073. Le joueur a donc environ 7,3 % de chances de réussir exactement 5 lancers-francs sur les 16.
· 4. « Réussir au moins six lancers » est l'événement (X ≥ 6), contraire de (X ≤ 5) : P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5). La calculatrice donne P(X ≤ 5) ≈ 0,117, d'où P(X ≥ 6) ≈ 0,883 (valeur non arrondie 0,8827…). La probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs est d'environ 0,883, soit 88,3 %.
Partie B
· 1 et 2. Le joueur effectue 3 lancers indépendants de même probabilité de succès p : Y suit la loi binomiale B(3 ; p) et prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. En particulier P(Y = 2) = C(3 ; 2) × p² × (1 − p)¹ = 3p²(1 − p) = 3p² − 3p³.
· 3. Loi de probabilité de Y (tableau) — valeurs yᵢ : 0 | 1 | 2 | 3 ; probabilités P(Y = yᵢ) : (1 − p)³ | 3p(1 − p)² | 3p²(1 − p) | p³. Contrôle : la somme de ces quatre termes est le développement de [(1 − p) + p]³ = 1.
· 4. Les événements (Y = 2) et (Y = 3) sont incompatibles, donc P(Y ≥ 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = 3p²(1 − p) + p³ = 3p² − 3p³ + p³ = −2p³ + 3p².
· 5.a. f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0 ; 1], et f′(x) = −6x² + 6x = 6x(1 − x). Sur [0 ; 1] on a 6x ≥ 0 et 1 − x ≥ 0, donc f′(x) ≥ 0, et f′(x) > 0 sur ]0 ; 1[ : f est strictement croissante sur [0 ; 1]. Tableau de variation : x va de 0 à 1, f′(x) est du signe + (avec f′(0) = f′(1) = 0), et f croît de f(0) = 0 jusqu'à f(1) = −2 + 3 = 1.
· 5.b. Sur [0 ; 1], f est continue (fonction polynôme) et strictement croissante, avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Comme 0,9 appartient à l'intervalle image [0 ; 1], le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) garantit qu'il existe un unique réel α ∈ [0 ; 1] tel que f(α) = 0,9.
· 5.c. On teste des valeurs à la calculatrice : f(0,80) = −2 × 0,512 + 3 × 0,64 = −1,024 + 1,92 = 0,896 et f(0,81) = −2 × 0,531441 + 3 × 0,6561 = −1,062882 + 1,9683 ≈ 0,905. Ainsi f(0,80) < 0,9 < f(0,81) et, f étant strictement croissante, 0,80 < α < 0,81 : c'est bien un encadrement d'amplitude 10⁻².
· 5.d. La question 4 montre que P(Y ≥ 2) = f(p). Dire que f(α) = 0,9 signifie donc : α ≈ 0,80 est la probabilité de réussite d'un lancer-franc pour laquelle le joueur a exactement 90 % de chances de réussir au moins 2 lancers sur 3. Comme f est croissante, il lui faut une réussite d'au moins 80 % environ par lancer pour atteindre ce niveau de performance.

Énoncé Exercice 3 Géométrie dans l'espace Difficile

Tétraèdre et distance

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗ , ȷ⃗ , k), on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(−1 ; 3 ; 1), C(2 ; 1 ; 6) et D(3 ; −2 ; −1).

1. a. Montrer que A, B et C définissent un plan.

b. Montrer que le vecteur n(1 ; 4 ; 1) est normal au plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. a. Déterminer une équation paramétrique de la droite (d), perpendiculaire au plan (ABC) et passant par D.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3√2.

3. a. Montrer que cos(BÂC) = −3√11/11.

b. En déduire la valeur exacte de sin(BÂC).

c. Montrer que l'aire du triangle ABC vaut 3√2/2.

4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que V = 13 × B × h, où B est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

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Corrigé Exercice 3 Tétraèdre et distance Revoir l'énoncé

1.a.
On calcule les coordonnées des vecteurs : AB (−1 − 1 ; 3 − 2 ; 1 − 3) = (−2 ; 1 ; −2) et AC (2 − 1 ; 1 − 2 ; 6 − 3) = (1 ; −1 ; 3). S'ils étaient colinéaires, il existerait un réel k tel que AC = k·AB ; la première coordonnée imposerait k = −12, mais la deuxième donnerait alors −12 au lieu de −1. Les coordonnées ne sont pas proportionnelles : AB et AC ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan.
1.b.
On calcule deux produits scalaires en repère orthonormé : n·AB = 1×(−2) + 4×1 + 1×(−2) = −2 + 4 − 2 = 0 et n·AC = 1×1 + 4×(−1) + 1×3 = 1 − 4 + 3 = 0. Le vecteur n est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : par définition, n est un vecteur normal au plan (ABC).
1.c.
Un plan de vecteur normal n(1 ; 4 ; 1) admet une équation cartésienne de la forme x + 4y + z + d = 0. Le point A(1 ; 2 ; 3) appartient au plan, donc 1 + 4×2 + 3 + d = 0, soit 12 + d = 0 et d = −12. Une équation cartésienne du plan (ABC) est x + 4y + z − 12 = 0. Vérification avec B : −1 + 12 + 1 − 12 = 0 ; avec C : 2 + 4 + 6 − 12 = 0.
2.a.
La droite (d) est perpendiculaire au plan (ABC) : elle est donc dirigée par un vecteur normal de ce plan, par exemple n(1 ; 4 ; 1). Comme elle passe par D(3 ; −2 ; −1), une représentation paramétrique de (d) est : x = 3 + t, y = −2 + 4t, z = −1 + t, avec t ∈ ℝ.
2.b.
Le projeté orthogonal H de D sur le plan est le point d'intersection de (d) et de (ABC). Ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique et l'équation du plan : (3 + t) + 4(−2 + 4t) + (−1 + t) − 12 = 0, soit 3 + t − 8 + 16t − 1 + t − 12 = 0, c'est-à-dire 18t − 18 = 0, donc t = 1. En reportant : H(3 + 1 ; −2 + 4 ; −1 + 1), soit H(4 ; 2 ; 0).
2.c.
La distance d'un point à un plan est la distance de ce point à son projeté orthogonal : elle vaut ici DH. On a DH (4 − 3 ; 2 − (−2) ; 0 − (−1)) = (1 ; 4 ; 1), donc DH = √1² + 4² + 1² = √18 = √9 × 2 = 3√2. La distance du point D au plan (ABC) est bien égale à 3√2.
3.a.
Le produit scalaire s'exprime de deux façons : AB·AC = AB × AC × cos(BÂC). Avec les coordonnées, AB·AC = (−2)×1 + 1×(−1) + (−2)×3 = −2 − 1 − 6 = −9. Les normes valent AB = √(−2)² + 1² + (−2)² = √9 = 3 et AC = √1² + (−1)² + 3² = √11. On obtient −9 = 3 × √11 × cos(BÂC), d'où cos(BÂC) = −93√11 = −3√11 = −3√11/11 après multiplication du numérateur et du dénominateur par √11.
3.b.
Dans un triangle, l'angle BÂC appartient à ]0 ; π[, donc son sinus est strictement positif. De l'identité cos²(BÂC) + sin²(BÂC) = 1 on tire sin²(BÂC) = 1 − (−3√11/11)² = 1 − 911 = 211. Donc sin(BÂC) = √211 = √2√11 = √2211.
3.c.
L'aire d'un triangle s'obtient par 𝒜 = 12 × AB × AC × sin(BÂC) = 12 × 3 × √11 × √2211. Or √11 × √22 = √242 = √121 × 2 = 11√2, donc 𝒜 = 12 × 3 × 11√2/11 = 3√2/2. L'aire du triangle ABC vaut bien 3√2/2 unités d'aire.
4.
On choisit le triangle ABC comme base du tétraèdre : son aire est B = 3√2/2 et la hauteur associée est la distance de D au plan (ABC), c'est-à-dire h = DH = 3√2 (question 2.c). D'où V = 13 × B × h = 13 × (3√2/2) × 3√2 = 13 × 9 × 22 = 13 × 9 = 3. Le volume du tétraèdre ABCD vaut 3 unités de volume.

Énoncé Exercice 4 Primitives et équations différentielles Moyen

Cinq affirmations

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation. Les quatre questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (−(12)x + 3)⁵.

Affirmation 1 la fonction f est convexe sur ℝ.

2. Une urne contient 32 jetons numérotés de 1 à 32, indiscernables au toucher. On tire simultanément 5 jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de 8 est égal à 103 096.

3. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous. [Arbre à deux niveaux, incomplet : la branche menant à A porte 25, la branche A → B porte 14 et la branche Ā → B̄ porte 710 ; les trois autres probabilités ne sont pas indiquées.]

Affirmation 3 P_B(Ā) = 950.

4. On considère l'équation différentielle (E) : y′ + y = e⁻ˣ cos(x), où y est une fonction de la variable x, dérivable sur ℝ.

Affirmation 4 la fonction h définie sur ℝ par h(x) = e⁻ˣ sin(x) est solution de (E) sur ℝ.

Affirmation 5 les solutions de (E) sur ℝ sont les fonctions k définies sur ℝ par k(x) = C e⁻ˣ sin(x), où C est une constante réelle.

Voir la correction

Corrigé Exercice 4 Cinq affirmations Revoir l'énoncé

Affirmation 1
FAUSSE. On pose u(x) = −(12)x + 3, de sorte que f = u⁵. La formule (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹ donne f′(x) = 5 × (−12) × u(x)⁴ = −(52)(−(12)x + 3)⁴, puis f″(x) = −(52) × 4 × (−12) × u(x)³ = 5(−(12)x + 3)³.
Une fonction est convexe sur ℝ si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur ℝ tout entier. Ici f″(x) est du signe de (−(12)x + 3)³, donc du signe de −(12)x + 3 : positif pour x ≤ 6, négatif pour x > 6. Par exemple f″(10) = 5 × (−5 + 3)³ = 5 × (−8) = −40 < 0. La fonction f est convexe sur ]−∞ ; 6] puis concave sur [6 ; +∞[ (6 est un point d'inflexion) : elle n'est donc pas convexe sur ℝ.
Affirmation 2
VRAIE. Un tirage simultané de 5 jetons parmi 32 est une combinaison de 5 éléments pris parmi 32 : il y a C(32 ; 5) = 32×31×30×29×285×4×3×2×1 = 201 376 tirages possibles.
On passe par l'événement contraire, « ne contenir aucun multiple de 8 ». Les multiples de 8 compris entre 1 et 32 sont 8, 16, 24 et 32, soit 4 jetons ; il en reste 28 qui n'en sont pas, d'où C(28 ; 5) = 98 280 tirages sans aucun multiple de 8. Le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est donc 201 376 − 98 280 = 103 096 : l'affirmation est bien vraie.
Affirmation 3
FAUSSE. L'arbre fournit P(A) = 25, P_A(B) = 14 et P_Ā(B̄) = 710. On complète les branches manquantes avec la règle « la somme des probabilités partant d'un même nœud vaut 1 » : P(Ā) = 1 − 25 = 35, P_A(B̄) = 1 − 14 = 34 et P_Ā(B) = 1 − 710 = 310.
Les événements A et Ā forment un système complet, donc d'après la formule des probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B) = (25)×(14) + (35)×(310) = 110 + 950 = 550 + 950 = 1450 = 725.
Par définition d'une probabilité conditionnelle, P_B(Ā) = P(Ā ∩ B)P(B) = (950)/(1450) = 914 ≈ 0,643. Or 914 ≠ 950 = 0,18 : l'affirmation est fausse. Le piège est classique : la valeur 950 proposée est celle de l'intersection P(Ā ∩ B), obtenue en multipliant le long de la branche, et non celle de la probabilité conditionnelle P_B(Ā), qui exige la division par P(B).
Affirmation 4
VRAIE. La fonction h est un produit ; avec (uv)′ = u′v + uv′ et (e⁻ˣ)′ = −e⁻ˣ, on obtient h′(x) = −e⁻ˣ sin(x) + e⁻ˣ cos(x). Alors h′(x) + h(x) = −e⁻ˣ sin(x) + e⁻ˣ cos(x) + e⁻ˣ sin(x) = e⁻ˣ cos(x). La fonction h vérifie donc (E) sur ℝ : c'est bien une solution (une solution particulière de (E)).
Affirmation 5
FAUSSE. L'équation homogène associée est y′ + y = 0, soit y′ = −y : ses solutions sont les fonctions x ↦ C e⁻ˣ avec C ∈ ℝ. L'ensemble des solutions de (E) s'obtient en ajoutant à ces solutions une solution particulière, ici h : les solutions de (E) sont donc les fonctions x ↦ C e⁻ˣ + e⁻ˣ sin(x) = e⁻ˣ (C + sin(x)), et non C e⁻ˣ sin(x).
Contre-exemple direct pour l'affirmation 5 : prenons C = 2, c'est-à-dire k(x) = 2 e⁻ˣ sin(x). Alors k′(x) = −2 e⁻ˣ sin(x) + 2 e⁻ˣ cos(x) et k′(x) + k(x) = 2 e⁻ˣ cos(x), qui n'est pas égal à e⁻ˣ cos(x). Cette fonction k n'est donc pas solution de (E) : l'affirmation 5 est fausse.