Bac de maths 2026 — Antilles-Guyane · 17 juin

Au premier niveau de l'arbre figurent A₁ et Ā₁ : l'énoncé donne P(A₁) = 0,96, donc P(Ā₁) = 1 − 0,96 = 0,04.

Les branches issues de A₁ traduisent la première règle de l'énoncé : P_A₁(A₂) = 0,94 et P_A₁(Ā₂) = 1 − 0,94 = 0,06. Celles issues de Ā₁ traduisent la seconde : P_Ā₁(A₂) = 0,35 et P_Ā₁(Ā₂) = 1 − 0,35 = 0,65.

Les évènements A₁ et Ā₁ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : P(A₂) = P(A₁ ∩ A₂) + P(Ā₁ ∩ A₂) = P(A₁) × P_A₁(A₂) + P(Ā₁) × P_Ā₁(A₂).

Soit P(A₂) = 0,96 × 0,94 + 0,04 × 0,35 = 0,902 4 + 0,014 = 0,916 4. On a bien P(A₂) = 0,916 4.

Par définition d'une probabilité conditionnelle, P_A₂(Ā₁) = P(Ā₁ ∩ A₂)P(A₂). Le numérateur est le produit des probabilités portées par la branche basse de l'arbre : P(Ā₁ ∩ A₂) = P(Ā₁) × P_Ā₁(A₂) = 0,04 × 0,35 = 0,014.

Donc P_A₂(Ā₁) = 0,0140,916 4 ≈ 0,015 277, soit P_A₂(Ā₁) ≈ 0,015 3 arrondi à 10⁻⁴.

Interprétation : parmi les messages qui parviennent sans erreur au deuxième relai, environ 1,5 % seulement provenaient d'un premier relai ayant reçu un message erroné. Un message correct au relai 2 vient donc presque toujours d'un message déjà correct au relai 1.

Pour k = 4 : P(X = 4) = C₅₀⁴ × 0,04⁴ × 0,96⁴⁶ = 230 300 × 0,04⁴ × 0,96⁴⁶ ≈ 0,090 2. La probabilité que 4 tests exactement soient positifs dans l'échantillon vaut donc environ 0,09 (arrondi à 10⁻²).

On passe par l'évènement contraire : l'évènement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif ». Donc P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,96⁵⁰ ≈ 1 − 0,129 9 = 0,870 1, soit environ 0,87 (arrondi à 10⁻²).

Pour une loi binomiale de paramètres n et p : E(X) = n × p = 50 × 0,04 = 2 et V(X) = n × p × (1 − p) = 50 × 0,04 × 0,96 = 1,92. En moyenne, 2 tests sur 50 sont donc positifs.

Par linéarité de l'espérance, E(M) = E(X₁) + ⋯ + E(X₂₅)25 = 25 × 225 = 2.

Les 25 variables étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances : V(X₁ + ⋯ + X₂₅) = 25 × 1,92 = 48. Comme V(aY) = a² × V(Y), on obtient V(M) = 4825² = 48625 = 0,076 8.

En utilisant l'indication puis en retranchant 2 : P(M < 7) = P(−3 < M < 7) = P(−5 < M − 2 < 5) = P(|M − 2| < 5) = 1 − P(|M − 2| ≥ 5).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à M, d'espérance E(M) = 2, avec t = 5, donne : P(|M − 2| ≥ 5) ≤ V(M)t² = 0,076 85² = 0,076 825 = 0,003 072.

Donc P(M < 7) ≥ 1 − 0,003 072 = 0,996 928 > 0,99 : la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est bien supérieure à 0,99.

Hérédité : soit n ≥ 1 tel que pₙ₊₁ ≤ pₙ. En multipliant par 0,59 > 0, le sens de l'inégalité est conservé : 0,59·pₙ₊₁ ≤ 0,59·pₙ. En ajoutant 0,35 aux deux membres : 0,59·pₙ₊₁ + 0,35 ≤ 0,59·pₙ + 0,35, c'est-à-dire pₙ₊₂ ≤ pₙ₊₁ : P(n + 1) est vraie.

Conclusion : d'après le principe de récurrence, pₙ₊₁ ≤ pₙ pour tout entier naturel n ≥ 1.

La question précédente montre que la suite (pₙ) est décroissante. De plus chaque pₙ est une probabilité, donc pₙ ≥ 0 : la suite est minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, (pₙ) converge ; notons ℓ sa limite.

La fonction f : x ↦ 0,59x + 0,35 est continue sur ℝ et pₙ₊₁ = f(pₙ). En passant à la limite dans l'égalité pₙ₊₁ = 0,59·pₙ + 0,35 (les suites (pₙ) et (pₙ₊₁) ont la même limite ℓ), on obtient ℓ = 0,59·ℓ + 0,35.

D'où 0,41·ℓ = 0,35, puis ℓ = 0,350,41 = 3541 ≈ 0,854. La proportion de messages transmis sans erreur se stabilise donc à la valeur exacte 3541, soit environ 85,4 %.

Le repère a pour origine A, donc A(0 ; 0 ; 0), et il est orthonormé : on peut y calculer les longueurs avec la formule de la distance.

CA = √(94 − 0)² + (3 − 0)² + (0 − 0)² = √8116 + 9 = √8116 + 14416 = √22516 = 154.

CB = √(94 − 92)² + (3 − 0)² + (0 − 0)² = √(−94)² + 9 = √8116 + 14416 = √22516 = 154.

Les deux côtés issus de C ont la même longueur, CA = CB = 154 = 3,75 m : le triangle ABC est bien isocèle en C.

On prend [AB] pour base : AB = √(92)² + 0² + 0² = 92 = 4,5 m. Les points A et B ont pour ordonnée et cote 0, donc la droite (AB) est l'axe des abscisses ; la hauteur issue de C est donc la distance de C(94 ; 3 ; 0) à cet axe, soit √3² + 0² = 3 m.

Aire(ABC) = base × hauteur2 = 4,5 × 32 = 13,52 = 6,75. L'aire du triangle ABC est bien égale à 6,75 m².

Les vecteurs AB(92 ; 0 ; 0) et AC(94 ; 3 ; 0) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée est nulle pour l'un et non nulle pour l'autre) : A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc bien un plan.

Or z_A = z_B = z_C = 0 : les trois points vérifient l'équation z = 0, qui est bien l'équation d'un plan. Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc z = 0.

Un point est le projeté orthogonal de D sur (ABC) s'il appartient à ce plan et si le vecteur qui le joint à D est normal au plan. Ici z_H = 0, donc H appartient à (ABC).

De plus HD = (32 − 32 ; 1 − 1 ; 3 − 0) = (0 ; 0 ; 3) = 3·k. Les coefficients de l'équation z = 0 montrent que k(0 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC) ; HD lui étant colinéaire, la droite (HD) est orthogonale à (ABC). Donc H(32 ; 1 ; 0) est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

En prenant le triangle ABC comme base, la hauteur du tétraèdre issue de D est la distance de D au plan (ABC), c'est-à-dire DH = √0² + 0² + 3² = 3 m.

V = (13) × Aire(ABC) × DH = (13) × 6,75 × 3 = 6,75. Le volume du module est de 6,75 m³.

Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire : n · BC = 4 × (−94) + 3 × 3 + 3 × 0 = −9 + 9 + 0 = 0 et n · BD = 4 × (−3) + 3 × 1 + 3 × 3 = −12 + 3 + 9 = 0.

n est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (BCD) : c'est un vecteur normal à ce plan.

Un plan de vecteur normal n(4 ; 3 ; 3) admet une équation cartésienne de la forme 4x + 3y + 3z + d = 0. Comme B(92 ; 0 ; 0) appartient à (BCD) : 4 × 92 + 3 × 0 + 3 × 0 + d = 0, soit 18 + d = 0 et d = −18.

Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc 4x + 3y + 3z − 18 = 0.

Une droite orthogonale à un plan est dirigée par un vecteur normal de ce plan : Δ est donc dirigée par n(4 ; 3 ; 3), et elle passe par D(32 ; 1 ; 3). Une représentation paramétrique de Δ est : x = 32 + 4t, y = 1 + 3t, z = 3 + 3t, avec t ∈ ℝ.

Un point de Δ s'écrit (32 + 4t ; 1 + 3t ; 3 + 3t). Il appartient à (ABC), d'équation z = 0, si et seulement si 3 + 3t = 0, c'est-à-dire t = −1.

Pour t = −1 : x = 32 − 4 = −52 et y = 1 − 3 = −2. Le point d'intersection a donc pour coordonnées L(−52 ; −2 ; 0).

DH = (32 − 32 ; 1 − 1 ; 0 − 3) = (0 ; 0 ; −3) et DL = (−52 − 32 ; −2 − 1 ; 0 − 3) = (−4 ; −3 ; −3).

Produit scalaire : DH · DL = 0 × (−4) + 0 × (−3) + (−3) × (−3) = 9. Normes : DH = √0² + 0² + (−3)² = 3 et DL = √(−4)² + (−3)² + (−3)² = √16 + 9 + 9 = √34.

La formule DH · DL = DH × DL × cos(LDH) donne alors cos(LDH) = 93 × √34 = 3√34 = 3√34/34 ≈ 0,514 5.

D'où LDH = arccos(3√34/34) ≈ 59,0° (plus précisément 59,04°). Cet angle est strictement inférieur à 60°, donc le module est bien adapté aux débutants.

FAUSSE. L'équation (E₁) : y′ + 2y = 0 s'écrit y′ = −2y, donc elle est de la forme y′ = ay avec a = −2. D'après le cours, ses solutions sur ℝ sont les fonctions x ↦ C·e^−2x, où C est une constante réelle.

La condition f(0) = 1 donne C·e⁰ = C = 1, d'où f(x) = e^−2x. On calcule alors l'image de ln 2 : f(ln 2) = e^{−2 ln 2} = e^ln(2⁻²) = 2⁻² = 14. Or l'ordonnée du point A vaut 12, et 14 ≠ 12 : la courbe de f ne passe donc pas par A.

FAUSSE. La position d'une courbe par rapport à ses tangentes se lit sur la convexité, donc sur le signe de la dérivée seconde. Ici f(x) = x − cos(x), donc f′(x) = 1 + sin(x) (la dérivée de −cos est +sin), puis f″(x) = cos(x).

Sur l'intervalle [π/2 ; π], le cosinus est négatif ou nul, donc f″(x) ≤ 0 : la fonction f est concave sur cet intervalle. Or la courbe d'une fonction concave est située au-dessous de ses tangentes — c'est la courbe d'une fonction convexe qui est au-dessus. L'affirmation dit le contraire : elle est fausse.

VRAIE. On part de l'encadrement −1 ≤ sin(x) ≤ 1, valable pour tout réel. Comme x > 0, on peut diviser sans changer le sens des inégalités : −1x ≤ sin(x)x ≤ 1x, puis en ajoutant 1 : 1 − 1x ≤ f(x) ≤ 1 + 1x.

Or lim(x→+∞) 1x = 0, donc les deux membres qui encadrent f(x) tendent tous les deux vers 1. D'après le théorème des gendarmes, lim(x→+∞) f(x) = 1 : la droite d'équation y = 1 est bien une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

VRAIE. La fonction f : x ↦ 2x − e^3x est dérivable sur ℝ et f′(x) = 2 − 3·e^3x. On reporte dans le premier membre de (E₂) : f′(x) − 3f(x) = (2 − 3·e^3x) − 3·(2x − e^3x) = 2 − 3·e^3x − 6x + 3·e^3x = 2 − 6x.

On retrouve exactement le second membre de (E₂), et ce pour tout réel x : la fonction f est bien une solution de l'équation différentielle y′ − 3y = 2 − 6x.

F₂ est une primitive de f₂ sur ]0 ; +∞[, donc F′₂ = f₂. Les variations de F₂ sont donc données par le signe de f₂, c'est-à-dire par la position de la courbe C₂ par rapport à l'axe des abscisses.

Sur le graphique, C₂ est au-dessous de l'axe des abscisses sur ]0 ; 0,3], au-dessus sur [0,3 ; 2,5], puis de nouveau au-dessous sur [2,5 ; 3]. Conclusion : avec la précision permise par le graphique, F₂ est décroissante sur ]0 ; 0,3], croissante sur [0,3 ; 2,5] et décroissante sur [2,5 ; 3]. (Le calcul confirme la lecture : f₂ s'annule en x ≈ 0,33 et x ≈ 2,53.)

La dérivée f′₂ s'annule en changeant de signe là où f₂ atteint son maximum, c'est-à-dire vers x ≈ 0,75 sur le graphique. La seule des trois courbes qui s'annule au voisinage de 0,75 est la courbe 1 : la courbe 1 représente donc f′₂.

La dérivée seconde f″₂ s'annule en changeant de signe à l'abscisse du point d'inflexion A, soit x_A ≈ 1,6. La seule courbe qui s'annule au voisinage de 1,6 est la courbe 2 : la courbe 2 représente donc f″₂. La courbe 3 ne convient pour aucune des deux fonctions.

Par croissances comparées, lim(x→+∞) ln(x)x² = 0 : le logarithme croît moins vite que toute puissance de x. Par somme, lim(x→+∞) f′₁(x) = −1 − 0 = −1. La droite d'équation y = −1 est donc asymptote horizontale à la courbe de f′₁ en +∞.

Sur ]0 ; +∞[ on a x³ > 0, donc f″₁(x) = 2 ln x − 1x³ est du signe de son numérateur 2 ln x − 1. Or 2 ln x − 1 > 0 ⟺ ln x > 12 ⟺ x > e¹² = √e, par stricte croissance de la fonction exponentielle.

f′₁ est donc strictement décroissante sur ]0 ; √e] et strictement croissante sur [√e ; +∞[ : elle admet un minimum en √e. Sa valeur est f′₁(√e) = −1 − ln(√e)√e² = −1 − (12)/e = −1 − 12e ≈ −1,18, ce qui est bien l'extremum lu dans le tableau.

En 0⁺ : ln x → −∞, donc −ln x → +∞ ; et x² → 0⁺. Par quotient, −ln xx² → +∞, puis par somme f′₁(x) = −1 + −ln xx² → +∞. C'est ce qui justifie que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe de f′₁.

Sur ]0 ; √e] : f′₁ est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec lim(x→0⁺) f′₁(x) = +∞ > 0 et f′₁(√e) = −1 − 12e < 0. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f′₁(x) = 0 admet une unique solution α dans ]0 ; √e[.

Sur [√e ; +∞[ : f′₁ est strictement croissante et sa limite en +∞ vaut −1, donc f′₁(x) < −1 < 0 sur tout cet intervalle : l'équation n'y a aucune solution. L'équation f′₁(x) = 0 admet donc une unique solution α sur ]0 ; +∞[ tout entier, et on a 0,65 < α < 0,66.

f′₁ est alors strictement positive sur ]0 ; α[ et strictement négative sur ]α ; +∞[ : f₁ est croissante puis décroissante. La fonction f₁ admet donc bien un maximum sur ]0 ; +∞[, atteint en x = α.

Comme d(0.5) > 0, on part de u = 0.5, qui est inférieur à α, et on avance par pas de 0.01 tant que d(u) reste strictement positif : la boucle s'arrête au premier u qui dépasse α. En Python les décimaux s'écrivent avec un point et le corps de la boucle doit être indenté : def d(x): return -1-ln(x)x**2 def alpha(): u = 0.5 while d(u) > 0: u = u + 0.01 return u Le programme renvoie 0.66, valeur approchée de α à 10⁻² près (α ≈ 0,652).

La valeur moyenne de f_k sur [1 ; e] est μ = 1e − 1 × ∫₁ᵉ f_k(x) dx. Comme f_k(x) = 1 − x + k·h(x), la question précédente fournit une primitive de f_k sur ]0 ; +∞[ : x ↦ x − x²/2 + k·H(x).

∫₁ᵉ f_k(x) dx = [x − x²/2 + k·H(x)]₁ᵉ = (e − e²/2 + k × (12)(1 + ln e)²) − (1 − 12 + k × (12)(1 + ln 1)²) = (e − e²/2 + 2k) − (12 + k2) = e − e²/2 − 12 + (32)·k.

Comme 1e − 1 ≠ 0, l'égalité μ = 0 équivaut à l'annulation de l'intégrale : (32)·k = e²/2 − e + 12 = e² − 2e + 12 = (e − 1)²/2, d'où k = (e − 1)²/3.

Cette valeur vaut environ 0,98 : elle est strictement positive, donc elle est bien autorisée par l'énoncé. Oui, il existe une valeur de k, et une seule, pour laquelle la valeur moyenne de f_k sur [1 ; e] est nulle : k = (e − 1)²/3.