Sujet officiel · session 2026

Bac de maths 2026 — Amérique du Nord · 20 mai

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 4 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Probabilités conditionnelles Moyen

Abonnements et option écoute hors-ligne

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d’abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu’on peut activer pour chaque type d’abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d’établir que :

• 25 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l’abonnement « Famille » ;

• 45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l’option « Écoute hors-ligne » ;

• 30 % des abonnés « Classique » ont activé l’option « Écoute hors-ligne » ;

• 12 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Famille » et ont activé l’option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d’un abonné et on considère les événements suivants :

• E : l’abonné a choisi l’abonnement « Étudiant » ;

• C : l’abonné a choisi l’abonnement « Classique » ;

• F : l’abonné a choisi l’abonnement « Famille » ;

• H : l’abonné a activé l’option « Écoute hors-ligne ».

Partie A

1. Recopier l’arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés : [arbre pondéré à trois branches principales E, C et F, chacune suivie de deux branches H et H̄ ; les probabilités portées par les branches sont remplacées par des pointillés].

2. Calculer la valeur exacte de P(E ∩ H).

3. Démontrer que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est de 0,4125.

4. Un abonné a activé l’option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu’il ait choisi l’abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu’il y a suffisamment d’abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise. On rappelle que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est de 0,4125.

On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’abonnés ayant activé l’option « Écoute hors-ligne ».

1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’aucun de ces huit abonnés n’ait activé l’option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.

3. Dans cette question, n est un entier naturel non nul. On s’intéresse à un échantillon de n abonnés, qu’on assimile à un tirage avec remise. On note qₙ la probabilité qu’au moins un abonné de cet échantillon ait activé l’option « Écoute hors-ligne ».

a. Démontrer que, pour tout n entier naturel non nul, qₙ = 1 − 0,5875ⁿ.

b. Déterminer la plus petite valeur de n telle que la probabilité qu’au moins un abonné de l’échantillon ait activé l’option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à 99,9 %.

Partie C

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

• Abonnement « Étudiant » : 5 € par mois ;

• Abonnement « Classique » : 10 € par mois ;

• Abonnement « Famille » : 16 € par mois ;

• Option « Écoute hors-ligne » : 2 € de plus par mois, quel que soit l’abonnement choisi.

On note Y la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire Y.

2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.

3. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y vaut 10,475 et interpréter ce résultat dans le contexte.

4. À l’aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire Y, arrondie au centième.

5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d’abonnements. On note Z la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l’espérance de la variable aléatoire Z vaut 9 et son écart-type 2.

a. Calculer la variance de la variable aléatoire Z.

b. Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50 % de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros. Justifier cette affirmation.

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Corrigé Exercice 1 Abonnements et option écoute hors-ligne Revoir l'énoncé

Partie A
1 — Premier niveau de l’arbre : l’énoncé donne P(E) = 0,25 et P(F) = 0,15. Les évènements E, C et F forment une partition de l’univers, donc P(C) = 1 − (0,25 + 0,15) = 0,60.
Deuxième niveau : P_E(H) = 0,45 et P_C(H) = 0,30 sont donnés, d’où, par passage à l’évènement contraire, P_E(H̄) = 1 − 0,45 = 0,55 et P_C(H̄) = 1 − 0,30 = 0,70. Pour la branche F, l’énoncé fournit la probabilité de l’intersection P(F ∩ H) = 0,12 : par définition d’une probabilité conditionnelle, P_F(H) = P(F ∩ H)P(F) = 0,120,15 = 0,80, donc P_F(H̄) = 0,20.
Partie A
2 — D’après la formule des probabilités composées, P(E ∩ H) = P(E) × P_E(H) = 0,25 × 0,45 = 0,1125. La valeur exacte cherchée est 0,1125.
3 — E, C et F formant une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne P(H) = P(E ∩ H) + P(C ∩ H) + P(F ∩ H) = 0,1125 + 0,60 × 0,30 + 0,12 = 0,1125 + 0,18 + 0,12 = 0,4125. La probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est donc bien 0,4125.
4 — On cherche la probabilité de E sachant H : P_H(E) = P(E ∩ H)P(H) = 0,11250,4125 = 1125/4125 = 311 ≈ 0,273. Sachant qu’un abonné a activé l’option, la probabilité qu’il ait choisi l’abonnement « Étudiant » est d’environ 0,273 au millième.
Partie B
1 — On répète 8 fois, de façon identique et indépendante (le choix est assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues : le succès « l’abonné a activé l’option », de probabilité p = 0,4125, et son contraire. X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0,4125.
2 — L’évènement « aucun des huit abonnés n’a activé l’option » est (X = 0) : les huit abonnés doivent être des échecs, chacun de probabilité 1 − 0,4125 = 0,5875. Donc P(X = 0) = 0,5875⁸ ≈ 0,014 au millième. Attention à partir de la valeur exacte 0,5875 et non d’un arrondi.
3.a — Sur un échantillon de n abonnés, le nombre d’abonnés ayant activé l’option suit la loi binomiale de paramètres n et 0,4125. L’évènement « au moins un abonné a activé l’option » est le contraire de « aucun ne l’a activée », donc qₙ = 1 − P(Xₙ = 0) = 1 − 0,5875ⁿ pour tout entier naturel n non nul.
3.b — On résout qₙ ⩾ 0,999, soit 1 − 0,5875ⁿ ⩾ 0,999, c’est-à-dire 0,5875ⁿ ⩽ 0,001. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[, cela équivaut à n ln(0,5875) ⩽ ln(0,001), puis, en divisant par ln(0,5875) < 0 (ce qui change le sens de l’inégalité), à n ⩾ ln(0,001)ln(0,5875) ≈ 12,99. La plus petite valeur cherchée est n = 13 abonnés.
Partie C
1 — Le montant payé est le prix de l’abonnement, augmenté de 2 € lorsque l’option est activée. Les six valeurs possibles de Y sont donc 5, 7 (Étudiant), 10, 12 (Classique), 16 et 18 (Famille), en euros.
2 — Chaque valeur correspond à une intersection lue sur l’arbre : P(Y = 5) = P(E ∩ H̄) = 0,25 × 0,55 = 0,1375 ; P(Y = 7) = P(E ∩ H) = 0,1125 ; P(Y = 10) = P(C ∩ H̄) = 0,60 × 0,70 = 0,42 ; P(Y = 12) = P(C ∩ H) = 0,60 × 0,30 = 0,18 ; P(Y = 16) = P(F ∩ H̄) = P(F) − P(F ∩ H) = 0,15 − 0,12 = 0,03 ; P(Y = 18) = P(F ∩ H) = 0,12. La somme de ces six probabilités vaut 1, ce qui valide le tableau.
3 — Par définition de l’espérance, E(Y) = 5 × 0,1375 + 7 × 0,1125 + 10 × 0,42 + 12 × 0,18 + 16 × 0,03 + 18 × 0,12 = 0,6875 + 0,7875 + 4,2 + 2,16 + 0,48 + 2,16 = 10,475. Sur un très grand nombre d’abonnés, le montant mensuel moyen payé est de 10,475 €.
4 — La calculatrice (ou le calcul V(Y) = E(Y²) − E(Y)² = 123,43 − 10,475² = 123,43 − 109,725625) donne V(Y) = 13,704375 ≈ 13,70 arrondie au centième.
5.a — La variance est le carré de l’écart-type : V(Z) = σ(Z)² = 2² = 4.
5.b — L’intervalle ]6 ; 12[ est centré en E(Z) = 9 et de rayon 3 : l’évènement (6 < Z < 12) s’écrit donc (|Z − 9| < 3). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|Z − E(Z)| ⩾ 3) ⩽ V(Z)3² = 49, donc P(6 < Z < 12) = 1 − P(|Z − 9| ⩾ 3) ⩾ 1 − 49 = 59 ≈ 0,556. Comme 59 > 0,5, il y a bien au moins 50 % de chances que le prix soit strictement compris entre 6 et 12 euros : l’affirmation du responsable est justifiée.

Énoncé Exercice 2 Suites numériques Moyen

Modèles d’évolution de perches-soleil

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d’évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s’élève à 4 000 individus au 1er janvier 2025.

Partie A étude d’un modèle discret

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l’étang par une suite (uₙ). Pour tout entier naturel n, uₙ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l’étang au 1er janvier de l’année 2025 + n. La suite (uₙ) est définie par :

• u₀ = 4 ;

• pour tout entier naturel n : uₙ₊₁ = 4 − 4uₙ.

On admet que cette suite est bien définie et qu’en particulier pour tout entier n, uₙ > 0.

1. Calculer le nombre de perches-soleil au 1er janvier 2026 donné par ce modèle.

2. On note h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par h(x) = 4 − 4x.

a. Justifier que la fonction h est croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n : 2 ⩽ uₙ₊₁ ⩽ uₙ ⩽ 4.

c. En déduire que la suite (uₙ) est convergente. On note ℓ sa limite.

d. Justifier que ℓ = 2.

e. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l’espèce envahissante ?

3. On considère le script Python ci-dessous.

a. Soit s un réel appartenant à l’intervalle ]2 ; 4[. Recopier et compléter ce script de sorte qu’il renvoie, après exécution, le plus petit entier n tel que uₙ < s.

[script Python : def population(s) : u = 4 ; n = 0 ; while ... : u = ... ; n = ... ; return n]

b. Quelle valeur renvoie la commande population(2.2) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B étude d’un modèle continu

On note t le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1er janvier 2025. L’évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction p telle que :

• la fonction p est définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ ;

• p(0) = 4 ;

• la fonction p est solution de l’équation différentielle (E) : y′ + y = 2 où y est une fonction de la variable réelle t.

1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E).

2. En déduire que l’expression de la fonction p sur l’intervalle [0 ; +∞[ est p(t) = 2e^−t + 2.

3. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l’espèce envahissante ?

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Corrigé Exercice 2 Modèles d’évolution de perches-soleil Revoir l'énoncé

Partie A
1 — On applique la relation de récurrence au rang 0 : u₁ = 4 − 4u₀ = 4 − 44 = 4 − 1 = 3. Les termes étant exprimés en milliers, ce modèle prévoit 3 000 perches-soleil au 1er janvier 2026.
2.a — h est dérivable sur ]0 ; +∞[ et, en dérivant 4 − 4 × (1x), on obtient h′(x) = −4 × (−1x²) = 4x². Pour tout x > 0, x² > 0 donc h′(x) > 0 : la fonction h est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
2.b — On remarque d’abord que uₙ₊₁ = h(uₙ) : h est la fonction de récurrence de la suite. Démontrons par récurrence la propriété Pₙ : « 2 ⩽ uₙ₊₁ ⩽ uₙ ⩽ 4 ». Initialisation : u₀ = 4 et u₁ = 3, donc 2 ⩽ 3 ⩽ 4 ⩽ 4 : P₀ est vraie.
Hérédité : soit n ∈ ℕ. Supposons Pₙ vraie pour cet entier n, soit 2 ⩽ uₙ₊₁ ⩽ uₙ ⩽ 4. La fonction h étant croissante sur ]0 ; +∞[, elle range les images dans le même ordre que les antécédents : h(2) ⩽ h(uₙ₊₁) ⩽ h(uₙ) ⩽ h(4). Or h(2) = 4 − 42 = 2, h(4) = 4 − 44 = 3, h(uₙ₊₁) = uₙ₊₂ et h(uₙ) = uₙ₊₁. On obtient 2 ⩽ uₙ₊₂ ⩽ uₙ₊₁ ⩽ 3 ⩽ 4, donc Pₙ₊₁ est vraie. Conclusion : P₀ est vraie et la propriété se transmet d'un rang au suivant ; d’après le principe de récurrence, 2 ⩽ uₙ₊₁ ⩽ uₙ ⩽ 4 pour tout n ∈ ℕ.
Partie A
2.c — L’encadrement précédent donne deux informations : uₙ₊₁ ⩽ uₙ pour tout n, donc la suite (uₙ) est décroissante ; et uₙ ⩾ 2 pour tout n, donc elle est minorée par 2. D’après le théorème de la limite monotone, toute suite décroissante et minorée converge : la suite (uₙ) converge vers un réel ℓ, avec ℓ ⩾ 2.
2.d — La fonction h est continue sur ]0 ; +∞[ (car dérivable) et ℓ ⩾ 2 > 0 appartient à cet intervalle. En passant à la limite dans uₙ₊₁ = h(uₙ), la limite vérifie ℓ = h(ℓ), soit ℓ = 4 − 4/ℓ. En multipliant par ℓ ≠ 0 : ℓ² = 4ℓ − 4, soit ℓ² − 4ℓ + 4 = 0, c’est-à-dire (ℓ − 2)² = 0. L’unique solution étant 2, on a bien ℓ = 2.
2.e — La suite converge vers 2, soit 2 000 individus, et non vers 0. Ce modèle prévoit donc une stabilisation de la population autour de 2 000 perches-soleil, pas une élimination de l’espèce à long terme.
3.a — La variable u stocke un terme de la suite et n son indice. Pour que la boucle s’arrête dès que uₙ < s, il faut la poursuivre tant que ce n’est pas le cas : la condition est « while u >= s : ». À l’intérieur, on remplace u par le terme suivant avec « u = 4 - 4u » et on incrémente l’indice avec « n = n + 1 ».
3.b — En itérant : u₀ = 4, u₁ = 3, u₂ = 83 ≈ 2,667, u₃ = 2,5, u₄ = 2,4, u₅ ≈ 2,333, u₆ ≈ 2,286, u₇ = 2,25, u₈ ≈ 2,222, u₉ = 2,2 et u₁₀ ≈ 2,182. Comme u₉ = 2,2 n’est pas strictement inférieur à 2,2, le premier terme qui l’est est u₁₀ : la commande population(2.2) renvoie 10. D’après ce modèle, c’est au 1er janvier 2035 (soit 2025 + 10) que la population passe sous le seuil de 2 200 perches-soleil.
Partie B
1 — L’équation (E) : y′ + y = 2 s’écrit y′ = −y + 2, de la forme y′ = ay + b avec a = −1 et b = 2. Les solutions de (E) sur ℝ sont donc les fonctions t ↦ Ce^at − ba = Ce^−t + 2, où C est une constante réelle quelconque.
2 — La fonction p est solution de (E), donc il existe un réel C tel que p(t) = Ce^−t + 2. La condition initiale p(0) = 4 donne Ce⁰ + 2 = 4, soit C + 2 = 4 et C = 2. L’expression de p sur [0 ; +∞[ est donc bien p(t) = 2e^−t + 2.
3 — Comme lim(t→+∞) e^−t = 0, par produit puis par somme, lim(t→+∞) p(t) = 2. Le modèle continu prévoit lui aussi une stabilisation autour de 2 000 perches-soleil : il ne prévoit donc pas l’élimination de l’espèce à long terme, ce qui est cohérent avec le modèle discret de la partie A.

Énoncé Exercice 3 Géométrie dans l'espace Moyen

Pyramide SABCD

Dans cet exercice l’unité est le centimètre. On considère une pyramide à base carrée SABCD comme dans la figure ci-dessous. [figure : pyramide à base carrée ABCD, centre O, sommet S au-dessus de O, I milieu de [CD], J milieu de [BC], K milieu de [OS]].

Dans cette figure :

• AB = BC = CD = DA = OS = 2 cm ;

• I est le milieu de [CD], J le milieu de [BC] et K le milieu de [OS].

L’espace est muni du repère orthonormé (O ; OI , OJ , OK).

On admet que B(−1 ; 1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0) et S(0 ; 0 ; 2).

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Donner les coordonnées des points A et D.

2. Calculer le produit scalaire SC · SB.

3. En déduire la mesure de l’angle BŜC arrondie au dixième de degré près.

Partie B

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point O au plan (SBC).

1. Soit n le vecteur de coordonnées (0 ; 2 ; 1).

a. Justifier que le vecteur n est normal au plan (SBC).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (SBC) est 2y + z − 2 = 0.

2. On note H le projeté orthogonal du point O sur le plan (SBC).

a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite (OH) est : { x = 0 ; y = 2t ; z = t } avec t ∈ ℝ.

b. Calculer les coordonnées du point H.

c. En déduire que la distance du point O au plan (SBC) est égale à 2√55 cm.

Partie C

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

1. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : V = (13) × aire de la base × hauteur.

a. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

b. En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à 23 cm³.

2. Déterminer l’aire du triangle SBC.

3. Déduire des questions précédentes que la distance du point O au plan (SBC) est égale à 2√55 cm.

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Corrigé Exercice 3 Pyramide SABCD Revoir l'énoncé

Partie A
1 — Dans le repère (O ; OI, OJ, OK), les extrémités des vecteurs de base ont pour coordonnées I(1 ; 0 ; 0) et J(0 ; 1 ; 0). I étant le milieu de [CD] et C(1 ; 1 ; 0), les coordonnées de D vérifient 1 + x_D2 = 1 et 1 + y_D2 = 0, d’où D(1 ; −1 ; 0). ABCD étant un carré de centre O, A est le symétrique de C par rapport à O : A(−1 ; −1 ; 0). On vérifie que AB = BC = CD = DA = 2 cm.
2 — On calcule les coordonnées des vecteurs par différence des coordonnées : SC (1 − 0 ; 1 − 0 ; 0 − 2) = (1 ; 1 ; −2) et SB (−1 ; 1 ; −2). Le repère étant orthonormé, on utilise l’expression analytique du produit scalaire : SC · SB = 1 × (−1) + 1 × 1 + (−2) × (−2) = −1 + 1 + 4 = 4.
3 — ‖SC‖ = √1² + 1² + (−2)² = √6 et, de même, ‖SB‖ = √6. La formule SC · SB = ‖SC‖ × ‖SB‖ × cos(BŜC) donne 4 = √6 × √6 × cos(BŜC) = 6 cos(BŜC), soit cos(BŜC) = 46 = 23. Donc BŜC = arccos(23) ≈ 48,2° au dixième de degré près.
Partie B
1.a — Les points S, B et C définissent le plan (SBC), donc ils ne sont pas alignés : SB et SC sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Or n · SB = 0 × (−1) + 2 × 1 + 1 × (−2) = 0 + 2 − 2 = 0 et n · SC = 0 × 1 + 2 × 1 + 1 × (−2) = 0. Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (SBC) : il est donc normal à ce plan.
1.b — Un plan de vecteur normal n(0 ; 2 ; 1) admet une équation cartésienne de la forme 0x + 2y + z + d = 0, avec d réel. Le point S(0 ; 0 ; 2) appartient au plan (SBC), donc 2 × 0 + 2 + d = 0, soit d = −2. Une équation cartésienne du plan (SBC) est donc bien 2y + z − 2 = 0.
2.a — H étant le projeté orthogonal de O sur (SBC), la droite (OH) est orthogonale à ce plan : tout vecteur normal au plan en est un vecteur directeur, en particulier n(0 ; 2 ; 1). Comme (OH) passe par O(0 ; 0 ; 0), une représentation paramétrique est x = 0, y = 2t, z = t, avec t ∈ ℝ.
2.b — H est le point d’intersection de la droite (OH) et du plan (SBC) : on reporte les coordonnées paramétriques dans l’équation du plan. 2 × (2t) + t − 2 = 0 donne 5t = 2, soit t = 25. En remplaçant, H a pour coordonnées (0 ; 45 ; 25).
2.c — La distance de O au plan (SBC) est la distance de O à son projeté orthogonal H : OH = √(0 − 0)² + (45)² + (25)² = √1625 + 425 = √2025 = √205 = 2√55 ≈ 0,89 cm.
Partie C
1.a — La base de la pyramide SABCD est le carré ABCD, de côté 2 cm et donc d’aire 2² = 4 cm² ; la hauteur associée est [SO], de longueur 2 cm. D’où V(SABCD) = (13) × 4 × 2 = 83 cm³.
1.b — On prend pour base de la pyramide OCBS le triangle OCB : sa hauteur associée est encore [SO], de longueur 2 cm. Comme O est le centre du carré, ses deux diagonales le découpent en quatre triangles de même aire, donc l’aire de OCB vaut 44 = 1 cm². D’où V(OCBS) = (13) × 1 × 2 = 23 cm³.
2 — SB = SC = √6, donc le triangle SBC est isocèle en S : la médiane issue de S, qui joint S au milieu J de [BC], en est aussi la hauteur. Avec J(0 ; 1 ; 0) et S(0 ; 0 ; 2), SJ = √0² + 1² + (−2)² = √5 cm. L’aire du triangle SBC vaut donc BC × SJ2 = 2 × √52 = √5 cm².
3 — On calcule à nouveau le volume de OCBS, cette fois en prenant SBC pour base : la hauteur associée est alors [OH], puisque H est le projeté orthogonal de O sur (SBC). On a donc (13) × √5 × OH = 23, d’où OH = 2√5 = 2 × √5√5 × √5 = 2√55 cm. On retrouve bien le résultat de la partie B.

Énoncé Exercice 4 Fonction logarithme Difficile

Fonction logarithme et convexité

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 5 ln(x² + 1) − 3x et on admet que la fonction f est dérivable sur ℝ. On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe C_f et la tangente à la courbe C_f au point A d’abscisse 1. [figure : courbe C_f et sa tangente au point A d’abscisse 1, tracées dans une fenêtre allant de −6 à 6 en abscisse et de −2 à 6 en ordonnée]

1. Conjecturer, à l’aide de la représentation graphique de la fonction f, les intervalles de ℝ sur lesquels la fonction f semble convexe ou concave.

2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction f en −∞.

3. a. Démontrer que, pour tout x réel strictement positif, f(x) = x(10 ln(x)x − 3) + 5 ln(1 + 1x²).

b. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction f en +∞.

4. a. Démontrer que pour tout x réel, f′(x) = −3x² + 10x − 3x² + 1.

b. Étudier les variations de la fonction f sur ℝ.

5. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ℝ et que pour tout réel x, f″(x) = −10x² + 10x² + 1².

a. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.

b. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C_f au point A d’abscisse 1.

c. En déduire que pour tout x ⩾ 1, ln(x² + 1) ⩽ x + ln(2) − 1.

Voir la correction

Corrigé Exercice 4 Fonction logarithme et convexité Revoir l'énoncé

Question 1
Sur la fenêtre tracée, la courbe tourne d’abord sa concavité vers le haut, puis vers le bas, et la tangente au point A d’abscisse 1 semble traverser la courbe en A. On conjecture donc que f est convexe sur ]−∞ ; 1] et concave sur [1 ; +∞[, le point A étant un point d’inflexion.
Question 2
lim(x→−∞) (x² + 1) = +∞ et lim(X→+∞) ln(X) = +∞, donc par composition lim(x→−∞) ln(x² + 1) = +∞, puis lim(x→−∞) 5 ln(x² + 1) = +∞. Par ailleurs lim(x→−∞) (−3x) = +∞. Par somme de deux limites infinies de même signe, lim(x→−∞) f(x) = +∞.
Question 3.a
Soit x > 0. On factorise x² sous le logarithme : x² + 1 = x²(1 + 1x²). Le logarithme d’un produit étant la somme des logarithmes, ln(x² + 1) = ln(x²) + ln(1 + 1x²) = 2 ln(x) + ln(1 + 1x²) (car x > 0). Donc f(x) = 10 ln(x) − 3x + 5 ln(1 + 1x²) et, en factorisant x dans les deux premiers termes, f(x) = x(10 ln(x)x − 3) + 5 ln(1 + 1x²).
Question 3.b
L’écriture initiale conduit à la forme indéterminée « +∞ − ∞ » ; on lève l’indétermination avec la forme précédente. Par croissances comparées, lim(x→+∞) ln(x)x = 0, donc 10 ln(x)x − 3 tend vers −3 ; comme x tend vers +∞, le produit x(10 ln(x)x − 3) tend vers −∞. De plus 1x² tend vers 0, donc 1 + 1x² tend vers 1 et, par composition, 5 ln(1 + 1x²) tend vers 5 ln(1) = 0. Par somme, lim(x→+∞) f(x) = −∞.
Question 4.a
On pose u(x) = x² + 1, dérivable et strictement positive sur ℝ, avec u′(x) = 2x. Alors f(x) = 5 ln(u(x)) − 3x et, par dérivation d’une composée, f′(x) = 5 × u′xu(x) − 3 = 10x/(x² + 1) − 3. En réduisant au même dénominateur : f′(x) = 10x − 3(x² + 1)x² + 1 = −3x² + 10x − 3x² + 1.
Question 4.b
Pour tout réel x, x² + 1 > 0 : f′(x) est donc du signe du trinôme −3x² + 10x − 3. Son discriminant vaut Δ = 10² − 4 × (−3) × (−3) = 100 − 36 = 64 > 0, d’où deux racines : x₁ = −10 + 82 × (−3) = 13 et x₂ = −10 − 82 × (−3) = 3. Le coefficient dominant −3 étant négatif, le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. Donc f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 13], strictement croissante sur [13 ; 3] et strictement décroissante sur [3 ; +∞[.
Question 5.a
Le dénominateur (x² + 1)² est un carré strictement positif, donc f″(x) est du signe du numérateur −10x² + 10 = 10(1 − x)(1 + x). Ce trinôme de coefficient dominant négatif a pour racines −1 et 1 : il est négatif à l’extérieur de [−1 ; 1] et positif à l’intérieur. Ainsi f est concave sur ]−∞ ; −1], convexe sur [−1 ; 1] et concave sur [1 ; +∞[, avec deux points d’inflexion, d’abscisses −1 et 1.
La conjecture de la question 1 doit donc être rejetée : elle est exacte sur [1 ; +∞[, mais fausse sur ]−∞ ; −1], où f est concave et non convexe. La fenêtre du graphique masquait ce second point d’inflexion, puisque f(−1) = 5 ln(2) + 3 ≈ 6,5 sort par le haut du cadre.
Question 5.b
f(1) = 5 ln(1² + 1) − 3 × 1 = 5 ln(2) − 3 et f′(1) = −3 × 1² + 10 × 1 − 31² + 1 = 42 = 2. L’équation de la tangente en A est y = f′(1)(x − 1) + f(1) = 2(x − 1) + 5 ln(2) − 3, soit, sous forme réduite, y = 2x + 5 ln(2) − 5.
Question 5.c
Sur [1 ; +∞[, la fonction f est concave : sa courbe y est située sous chacune de ses tangentes, en particulier sous celle tracée au point A. Donc, pour tout x ⩾ 1, f(x) ⩽ 2x + 5 ln(2) − 5, c’est-à-dire 5 ln(x² + 1) − 3x ⩽ 2x + 5 ln(2) − 5. En ajoutant 3x : 5 ln(x² + 1) ⩽ 5x + 5 ln(2) − 5 = 5(x + ln(2) − 1). En divisant par 5 > 0, on obtient bien ln(x² + 1) ⩽ x + ln(2) − 1 pour tout x ⩾ 1.