Bac de maths 2025 — Asie · 12 juin

Les deux caractéristiques fournies par le laboratoire sont des probabilités conditionnelles. « Un individu atteint a un test positif » se traduit par P_M(T) = 0,999 (c'est la sensibilité du test) ; « un individu non atteint a un test positif » se traduit par P_M̄(T) = 0,005 (c'est la proportion de faux positifs). Comme les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1, on en déduit au passage P_M(T̄) = 0,001 et P_M̄(T̄) = 0,995.

Ici la population cible est celle de La Réunion. Le choix d'un individu au hasard place dans une situation d'équiprobabilité, donc P(M) est la proportion d'infectés : P(M) = 270 000750 000 = 2775 = 0,36. C'est une valeur exacte, et non un arrondi.

L'arbre comporte deux niveaux. Premier niveau, l'état de santé : la branche M est pondérée par 0,36 et la branche M̄ par 1 − 0,36 = 0,64. Second niveau, le résultat du test : sous M, T porte 0,999 et T̄ porte 0,001 ; sous M̄, T porte 0,005 et T̄ porte 0,995.

L'événement demandé est M ∩ T. On suit le chemin M puis T et on applique la règle du produit le long d'un chemin : P(M ∩ T) = P(M) × P_M(T) = 0,36 × 0,999 = 0,35964. La probabilité qu'un individu soit atteint et ait un test positif vaut donc environ 0,360 à 10⁻³ près.

Les événements M et M̄ forment une partition de l'univers, ce qui autorise la formule des probabilités totales : P(T) = P(M ∩ T) + P(M̄ ∩ T) = 0,36 × 0,999 + 0,64 × 0,005 = 0,35964 + 0,0032 = 0,36284. La probabilité qu'un individu ait un test positif est donc environ 0,363.

On demande cette fois P_T(M) : la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Par définition d'une probabilité conditionnelle, P_T(M) = P(M ∩ T)P(T) = 0,359640,36284 ≈ 0,991. Attention à ne pas confondre avec P_M(T) = 0,999 : le conditionnement est inversé, et les deux nombres n'ont pas le même sens.

Le critère de fiabilité de l'énoncé porte précisément sur P_T(M). Comme P_T(M) ≈ 0,991 > 0,95, on peut estimer que le test est fiable sur la population de La Réunion fin 2005.

P_T(M) = P(M ∩ T)P(T) = 0,999p/(0,994p + 0,005). Pour p ∈ [0 ; 1] le dénominateur 0,994p + 0,005 est strictement positif, et multiplier le numérateur et le dénominateur par 1 000 ne change pas la valeur de la fraction : P_T(M) = 999p/(994p + 5).

Le test est fiable lorsque 999p/(994p + 5) > 0,95. Le dénominateur 994p + 5 étant strictement positif, on peut multiplier les deux membres par lui sans changer le sens de l'inégalité : 999p > 0,95(994p + 5), soit 999p > 944,3p + 4,75, puis 54,7p > 4,75 et enfin p > 4,7554,7 ≈ 0,087. Le test peut donc être considéré comme fiable dès que la proportion de personnes atteintes dans la population cible dépasse environ 8,7 %.

On applique la relation de récurrence uₙ₊₁ = (12)uₙ + 10 en partant de u₀ = 30. On obtient u₁ = (12) × 30 + 10 = 15 + 10 = 25, puis u₂ = (12) × 25 + 10 = 12,5 + 10 = 22,5.

Pour tout entier naturel n, vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 20 = (12)uₙ + 10 − 20 = (12)uₙ − 10. On factorise alors par 12 : (12)uₙ − 10 = (12)(uₙ − 20) = (12)vₙ. Chaque terme s'obtient donc en multipliant le précédent par le même nombre : (vₙ) est géométrique de raison q = 12 et de premier terme v₀ = u₀ − 20 = 30 − 20 = 10.

Pour une suite géométrique, vₙ = v₀ × qⁿ. Ici v₀ = 10 et q = 12, donc vₙ = 10 × (12)ⁿ pour tout entier naturel n.

Par définition vₙ = uₙ − 20, donc uₙ = vₙ + 20. En remplaçant vₙ par son expression : uₙ = 10(12)ⁿ + 20 = 20 + 10(12)ⁿ.

Comme −1 < 12 < 1, on sait que lim (12)ⁿ = 0 quand n tend vers +∞. Par produit, 10(12)ⁿ tend vers 0, puis par somme lim uₙ = 20. La suite (uₙ) converge donc vers 20 : la limite est 20.

Dans la boucle, la ligne U = U2 + 10 transforme uᵢ₋₁ en uᵢ avant que W ne soit calculée ; la ligne suivante utilise donc uᵢ au lieu de uᵢ₋₁ exigé par la relation wᵢ = (12)wᵢ₋₁ + (12)uᵢ₋₁ + 7. Concrètement, suite(1) renvoie 452 + 252 + 7 = 42 au lieu de 44,5. Il suffit d'échanger les deux lignes, en calculant W avant de mettre U à jour : dans la boucle, écrire W = W2 + U2 + 7 puis U = U2 + 10. (On peut aussi conserver l'ordre initial en mémorisant l'ancienne valeur dans une variable auxiliaire avant de modifier U.)

initialisation : notons P(n) la propriété « wₙ = 10n(12)ⁿ + 11(12)ⁿ + 34 ». Pour n = 0 : 10 × 0 × (12)⁰ + 11 × (12)⁰ + 34 = 0 + 11 + 34 = 45 = w₀. La propriété P(0) est donc vraie.

hérédité. Soit n ∈ ℕ. Supposons que P(n) soit vraie pour cet entier n. En utilisant uₙ = 20 + 10(12)ⁿ obtenu en A.4 : wₙ₊₁ = (12)wₙ + (12)uₙ + 7 = (12)[10n(12)ⁿ + 11(12)ⁿ + 34] + (12)[20 + 10(12)ⁿ] + 7 = 10n(12)ⁿ⁺¹ + 11(12)ⁿ⁺¹ + 17 + 10 + 10(12)ⁿ⁺¹ + 7. En regroupant les termes en (12)ⁿ⁺¹ contenant n : wₙ₊₁ = (10n + 10)(12)ⁿ⁺¹ + 11(12)ⁿ⁺¹ + 34 = 10(n + 1)(12)ⁿ⁺¹ + 11(12)ⁿ⁺¹ + 34, c'est-à-dire P(n + 1) : la propriété est vraie au rang suivant. Conclusion. P(0) est vraie et P se transmet d'un rang au suivant ; d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ.

Pour n ≥ 4, l'encadrement admis 0 ≤ 10n(12)ⁿ ≤ 10n encadre le terme par deux suites de même limite, car lim 10n = 0. D'après le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement), lim 10n(12)ⁿ = 0. Par ailleurs 0 < 12 < 1 donne lim (12)ⁿ = 0, donc lim 11(12)ⁿ = 0. Par somme, lim wₙ = 0 + 0 + 34 = 34 : la suite (wₙ) converge vers 34.

orthogonalité : Vraie. Les coefficients de t dans la représentation paramétrique donnent le vecteur directeur u(13 ; 12 ; 1) de (d), et les coefficients de x, y, z dans l'équation cartésienne donnent le vecteur normal n(2 ; 3 ; 6) du plan P. Or n = 6u, donc u et n sont colinéaires : un vecteur directeur de (d) est normal à P, ce qui signifie exactement que (d) est orthogonale à P.

point d'intersection : H appartient à P car 2 × (−6) + 3 × 2 + 6 × 2 − 6 = −12 + 6 + 12 − 6 = 0. H appartient aussi à (d) : la troisième équation 2 = −4 + t impose t = 6, et cette valeur convient pour les deux autres coordonnées, puisque −8 + (13) × 6 = −6 et −1 + (12) × 6 = 2. Une droite orthogonale à un plan le coupe en un unique point : ce point est donc H, et l'affirmation 1 est vraie.

Fausse. On calcule d'abord les vecteurs CD(0 − 3 ; 2 − 0 ; 0 − 0) = (−3 ; 2 ; 0) et CH(−6 − 3 ; 2 − 0 ; 2 − 0) = (−9 ; 2 ; 2), puis leur produit scalaire CH · CD = (−9) × (−3) + 2 × 2 + 2 × 0 = 31, et leurs normes ‖CH‖ = √81 + 4 + 4 = √89 et ‖CD‖ = √9 + 4 = √13.

conclusion : L'expression du produit scalaire avec le cosinus, CH · CD = ‖CH‖ × ‖CD‖ × cos(DCH), donne cos(DCH) = 31√89 × √13 = 31/√1157 ≈ 0,911. La calculatrice fournit alors DCH = arccos(0,911…) ≈ 24,3°, et non 17,3° : l'affirmation 2 est fausse.

les plans sont sécants : Vraie. n(2 ; 3 ; 6) est un vecteur normal de P et n′(1 ; −2 ; 3) un vecteur normal de P′. Ils ne sont pas colinéaires : passer de 1 à 2 sur la première coordonnée demande le facteur 2, mais 2 × (−2) = −4 ≠ 3. Les plans ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants et leur intersection est une droite.

identification de la droite : Soit M(3 − 3t ; 0 ; t) un point quelconque de ∆. On teste les deux équations cartésiennes : 2(3 − 3t) + 3 × 0 + 6t − 6 = 6 − 6t + 6t − 6 = 0, donc M ∈ P ; et (3 − 3t) − 2 × 0 + 3t − 3 = 3 − 3t + 3t − 3 = 0, donc M ∈ P′. Tout point de ∆ appartient donc à P ∩ P′, c'est-à-dire ∆ ⊂ P ∩ P′. Or cette intersection est une droite : elle est donc confondue avec ∆, et l'affirmation 3 est vraie.

J appartient à (CD) : Vraie. La droite (CD) passe par C(3 ; 0 ; 0) et a pour vecteur directeur CD(−3 ; 2 ; 0), d'où la représentation paramétrique x = 3 − 3s, y = 2s, z = 0 avec s ∈ ℝ. La deuxième coordonnée de J donne 2s = 6213, soit s = 3113 ; on vérifie alors x = 3 − 3 × 3113 = 3913 − 9313 = −5413 et z = 0, ce qui correspond bien à J.

orthogonalité : Le projeté orthogonal de H sur (CD) est le point de (CD) tel que le vecteur reliant H à ce point soit orthogonal à la direction de la droite. Ici HJ(−5413 + 6 ; 6213 − 2 ; 0 − 2) = (2413 ; 3613 ; −2), donc HJ · CD = (2413) × (−3) + (3613) × 2 + (−2) × 0 = −7213 + 7213 = 0. Les deux conditions étant réunies, J est bien le projeté orthogonal de H sur (CD) : l'affirmation 4 est vraie.

La valeur initiale se lit à l'origine : la courbe part de 40 °C à l'instant t = 0. On cherche donc l'autre instant où la courbe repasse par l'ordonnée 40. Après son maximum, la courbe décroît et recoupe la droite horizontale d'équation y = 40 juste avant l'abscisse 4. Par lecture graphique, la température est redescendue à sa valeur initiale au bout d'environ 3,8 minutes (soit un peu moins de 4 minutes) ; la question B.2.c confirmera cette lecture par le calcul.

On remplace t par 0 dans f(t) = (at + b)e^−0,5t : f(0) = (a × 0 + b) × e⁰ = b × 1 = b. Comme f(0) = 40, on en déduit b = 40.

f est dérivable sur [0 ; 10] comme produit des fonctions dérivables t ↦ at + 40 et t ↦ e^−0,5t. La formule (uv)′ = u′v + uv′ donne f ′(t) = a e^−0,5t + (at + 40) × (−0,5)e^−0,5t = (−0,5at + a − 20)e^−0,5t. On forme alors le membre de gauche de (E) : f ′(t) + 0,5f(t) = (−0,5at + a − 20)e^−0,5t + 0,5(at + 40)e^−0,5t = a e^−0,5t, car les termes en t se compensent et −20 + 20 = 0. Puisque f est solution de (E), a e^−0,5t = 60 e^−0,5t pour tout t ; comme e^−0,5t ≠ 0, on peut simplifier et a = 60.

L'exponentielle est strictement positive, donc e^−0,5t > 0 et f ′(t) est du signe de 40 − 30t. Or 40 − 30t > 0 ⇔ t < 4030 = 43. Ainsi f ′ est positive sur [0 ; 43] et négative sur [43 ; 10] : f est strictement croissante sur [0 ; 43] puis strictement décroissante sur [43 ; 10]. Le tableau de variations comporte f(0) = 40, le maximum f(43) = (60 × 43 + 40)e⁻²³ = 120e⁻²³ ≈ 61,6 et f(10) = 640e⁻⁵ ≈ 4,3. La température monte donc jusqu'à environ 61,6 °C au bout de 43 min (1 min 20 s), puis redescend.

On raisonne sur chacun des deux intervalles de monotonie. Sur ]0 ; 43], f est strictement croissante, donc f(t) > f(0) = 40 : l'équation f(t) = 40 n'y a aucune solution. Sur [43 ; 10], f est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec f(43) ≈ 61,6 > 40 et f(10) ≈ 4,3 < 40, donc 40 appartient à l'intervalle image [f(10) ; f(43)]. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(t) = 40 admet une unique solution α dans [43 ; 10]. Au total, f(t) = 40 admet une unique solution strictement positive α sur ]0 ; 10].

Par balayage à la calculatrice, f(3,8) ≈ 40,08 > 40 et f(3,9) ≈ 38,98 < 40 ; comme f est décroissante sur cet intervalle, 3,8 < α < 3,9, et plus finement α ≈ 3,81, donc α ≈ 3,8 au dixième près. Interprétation : la température de la réaction redescend à sa valeur initiale de 40 °C au bout d'environ 3,8 minutes, ce qui confirme la lecture graphique de la question A.1.

On pose u(t) = 60t + 40 et v′(t) = e^−0,5t, d'où u′(t) = 60 et v(t) = −2e^−0,5t ; ces fonctions sont dérivables sur [0 ; 4] et leurs dérivées y sont continues, la formule d'intégration par parties s'applique : ∫₀⁴ f(t)dt = [(60t + 40) × (−2e^−0,5t)]₀⁴ − ∫₀⁴ 60 × (−2e^−0,5t)dt = [−(120t + 80)e^−0,5t]₀⁴ + 120∫₀⁴ e^−0,5tdt.

(fin des calculs) : Le crochet vaut −(120 × 4 + 80)e⁻² − (−(0 + 80)e⁰) = −560e⁻² + 80. L'intégrale restante vaut 120 × [−2e^−0,5t]₀⁴ = 120 × (−2e⁻² + 2) = −240e⁻² + 240. En additionnant : ∫₀⁴ f(t)dt = 80 + 240 − (560 + 240)e⁻² = 320 − 800e⁻² = 320 − 800e².

On applique la définition avec t₁ = 0 et t₂ = 4 : température moyenne = [14 − 0] × ∫₀⁴ f(t)dt = (14)(320 − 800e²) = 80 − 200e². Comme e² ≈ 7,389, on a 200e² ≈ 27,07 et 80 − 27,07 ≈ 52,9. La température moyenne de la réaction chimique au cours des 4 premières minutes est donc d'environ 53 °C.