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Sujet officiel · session 2025

Bac de maths 2025 — Asie · 11 juin

Le sujet tel qu'il a été donné, sa transcription, et le corrigé complet de ses 4 exercices.

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Sujet publié par le ministère de l'Éducation nationale — PDF d'origine. Transcription et correction rédigées par MathBooster.

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La transcription et le corrigé complets reprennent le sujet ci-dessous.

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Énoncé et corrigé, exercice par exercice

L'énoncé transcrit à gauche, notre correction en face. Chaque étape nomme la propriété utilisée ; ces corrections sont rédigées par MathBooster, puis vérifiées calcul par calcul.

Énoncé Exercice 1 Géométrie dans l'espace Moyen

Affirmations dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; ı⃗ , ȷ⃗ , k).

On considère :

• α un réel quelconque ;

• les points A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 1 ; 0) et C(α ; 3 ; α) ;

• (d) la droite dont une représentation paramétrique est : x = 1 + t ; y = 2t ; z = −t, avec t ∈ ℝ.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 Pour toutes les valeurs de α, les points A, B et C définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est le vecteur de coordonnées (0 ; 1 ; 0).

Affirmation 2 Il existe exactement une valeur de α telle que les droites (AC) et (d) soient parallèles.

Affirmation 3 Une mesure de l'angle OAB est 135°.

Affirmation 4 Le projeté orthogonal du point A sur la droite (d) est le point H(1 ; 2 ; 2).

Affirmation 5 La sphère de centre O et de rayon 1 rencontre la droite (d) en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre Ω et de rayon r est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance r de Ω.

Voir la correction

Corrigé Exercice 1 Affirmations dans l'espace Revoir l'énoncé
  1. Affirmation 1

    FAUSSE. On calcule d'abord les deux vecteurs : AB = (2−1 ; 1−1 ; 0−0) = (1 ; 0 ; 0) et AC = (α−1 ; 3−1 ; α−0) = (α−1 ; 2 ; α). Leurs coordonnées ne sont jamais proportionnelles, car la deuxième coordonnée de AB est nulle alors que celle de AC vaut 2 : les vecteurs ne sont pas colinéaires et A, B, C définissent bien un plan — cette première moitié de l'affirmation est vraie. En revanche, dans un repère orthonormé, n(0 ; 1 ; 0) est normal au plan (ABC) seulement s'il est orthogonal à AB et à AC. Or n·AC = (α−1)×0 + 2×1 + α×0 = 2 ≠ 0 : n n'est orthogonal à AC pour aucune valeur de α. L'affirmation est donc fausse.

  2. Affirmation 2

    FAUSSE. La représentation paramétrique de (d) fournit le vecteur directeur u(1 ; 2 ; −1) (les coefficients de t). Les droites (AC) et (d) sont parallèles si et seulement si AC(α−1 ; 2 ; α) et u sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que AC = k u. La deuxième coordonnée impose 2 = 2k, donc k = 1 : il faudrait alors AC = u, soit à la fois α − 1 = 1 (donc α = 2) et α = −1. Ces deux conditions sont incompatibles : aucune valeur de α ne convient, il n'en existe donc pas exactement une.

  3. Affirmation 3

    VRAIE. L'angle OAB a pour sommet A : on travaille avec AO = (0−1 ; 0−1 ; 0−0) = (−1 ; −1 ; 0) et AB = (1 ; 0 ; 0). Le repère étant orthonormé, on peut calculer avec les coordonnées : AO·AB = (−1)×1 + (−1)×0 + 0×0 = −1, ‖AO‖ = √(−1)² + (−1)² + 0² = √2 et ‖AB‖ = √1² + 0² + 0² = 1. La formule AO·AB = ‖AO‖ × ‖AB‖ × cos(OAB) donne alors cos(OAB) = −1√2 × 1 = −√22. Sur [0° ; 180°], le seul angle de cosinus −√22 est 135° : l'affirmation est vraie.

  4. Affirmation 4

    FAUSSE. Le projeté orthogonal de A sur (d) est par définition un point de (d) : il suffit donc de tester si H(1 ; 2 ; 2) appartient à (d). L'abscisse impose 1 + t = 1, donc t = 0 ; mais alors y = 2×0 = 0 ≠ 2. Aucune valeur de t ne donne H, qui n'est pas sur (d) et ne peut donc pas être le projeté. Pour aller au bout : un point de (d) s'écrit M(1+t ; 2t ; −t), d'où AM = (t ; 2t−1 ; −t). M est le projeté orthogonal de A lorsque AM ⊥ u, soit AM·u = t×1 + (2t−1)×2 + (−t)×(−1) = 6t − 2 = 0, c'est-à-dire t = 13. Le projeté orthogonal de A sur (d) est le point de coordonnées (43 ; 23 ; −13).

  5. Affirmation 5

    VRAIE. Un point de (d) s'écrit M(1+t ; 2t ; −t) ; d'après le rappel de l'énoncé, il appartient à la sphère de centre O et de rayon 1 si et seulement si OM = 1, ce qui équivaut (les deux membres étant positifs) à OM² = 1. Or OM² = (1+t)² + (2t)² + (−t)² = 1 + 2t + t² + 4t² + t² = 6t² + 2t + 1. L'équation OM² = 1 devient donc 6t² + 2t = 0, soit 2t(3t + 1) = 0, d'où t = 0 ou t = −13 : deux valeurs distinctes du paramètre, donc deux points d'intersection distincts, (1 ; 0 ; 0) et (23 ; −23 ; 13). La sphère coupe bien la droite (d) en deux points distincts.

Énoncé Exercice 2 Probabilités conditionnelles Difficile

Contrôles de conformité de jouets

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. On s'intéresse à deux tests : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

• 95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;

• parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;

• 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

• F l'événement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;

• S l'événement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités P(F) et PF(S).

2. a. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles.

b. Montrer que PF̄(S̄) = 0,2.

3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée au centième.

Partie B

On prélève au hasard un lot de n jouets (n entier strictement positif), assimilé à une succession de n tirages indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est 0,95.

Soit Sₙ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que Sₙ suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,95.

1. Exprimer l'espérance et la variance de Sₙ en fonction de n.

2. Dans cette question, on pose n = 150.

a. Déterminer une valeur approchée à 10⁻³ près de P(S₁₅₀ = 145). Interpréter ce résultat.

b. Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication, à 10⁻³ près.

3. Soit Fₙ la variable aléatoire définie par Fₙ = Sₙ/n, proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication. On note E(Fₙ) et V(Fₙ) son espérance et sa variance.

a. Montrer que E(Fₙ) = 0,95 et que V(Fₙ) = 0,0475n.

b. On note I l'événement : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication est strictement comprise entre 93 % et 97 % ». En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une taille n du lot à partir de laquelle P(I) ≥ 0,96.

Voir la correction

Corrigé Exercice 2 Contrôles de conformité de jouets Revoir l'énoncé
  1. Partie A

    1 : Les deux probabilités se lisent directement dans l'énoncé. « 95 % des jouets réussissent le test de fabrication » porte sur l'ensemble de la production : P(F) = 0,95. « Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité » est une proportion calculée à l'intérieur de F : c'est une probabilité conditionnelle, PF(S) = 0,98.

  2. 2.a.

    L'arbre part de deux branches d'événements contraires : F affectée de 0,95 et F̄ affectée de 1 − 0,95 = 0,05. Du nœud F partent S avec PF(S) = 0,98 et S̄ avec PF(S̄) = 1 − 0,98 = 0,02. Du nœud F̄ partent S et S̄, dont les probabilités conditionnelles ne figurent pas dans l'énoncé : elles font l'objet de la question 2.b.

  3. 2.b.

    « 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests » signifie que le jouet échoue aux deux, soit P(F̄ ∩ S̄) = 0,01. Par définition d'une probabilité conditionnelle, PF̄(S̄) = P(F̄ ∩ S̄)P(F̄) = 0,010,05 = 0,2. On complète alors l'arbre avec l'événement contraire : PF̄(S) = 1 − 0,2 = 0,8.

  4. 3.

    L'événement demandé est F ∩ S, qui correspond à la branche haute de l'arbre. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches : P(F ∩ S) = P(F) × PF(S) = 0,95 × 0,98 = 0,931. La probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests vaut 0,931, soit environ 93 %.

  5. 4.

    F et F̄ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : P(S) = P(F ∩ S) + P(F̄ ∩ S) = 0,931 + P(F̄) × PF̄(S) = 0,931 + 0,05 × 0,8 = 0,931 + 0,04 = 0,971. Arrondie au centième, la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut bien 0,97.

  6. 5.

    Ici le conditionnement est inversé par rapport à la question 1 : on cherche PS(F), probabilité de réussir le test de fabrication sachant que le test de sécurité est réussi. PS(F) = P(F ∩ S)P(S) = 0,9310,971 ≈ 0,9588. Sachant qu'il a réussi le test de sécurité, un jouet a environ 0,96 de probabilité d'avoir aussi réussi le test de fabrication.

  7. Partie B

    1 : Sₙ suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,95. Les formules du cours donnent E(Sₙ) = np = 0,95n et V(Sₙ) = np(1 − p) = n × 0,95 × 0,05 = 0,0475n.

  8. 2.a.

    On applique la formule de la loi binomiale : P(S₁₅₀ = 145) = C(150 ; 145) × 0,95¹⁴⁵ × 0,05⁵ (l'exposant 5 vient de 150 − 145), avec C(150 ; 145) = C(150 ; 5) = 591 600 030. On obtient P(S₁₅₀ = 145) ≈ 0,108 84, soit 0,109 à 10⁻³ près. Interprétation : dans environ 10,9 % des lots de 150 jouets, exactement 145 jouets réussissent le test de fabrication.

  9. 2.b.

    94 % de 150 jouets, c'est 0,94 × 150 = 141 jouets : l'événement demandé est (S₁₅₀ ≥ 141). On passe par l'événement contraire pour utiliser la calculatrice : P(S₁₅₀ ≥ 141) = 1 − P(S₁₅₀ ≤ 140) ≈ 0,780 88. La probabilité qu'au moins 94 % des jouets du lot réussissent le test de fabrication vaut 0,781 à 10⁻³ près.

  10. 3.a.

    Fₙ = Sₙ/n est obtenue en multipliant Sₙ par la constante 1n. Par linéarité de l'espérance, E(Fₙ) = E(Sₙ)n = 0,95n/n = 0,95. Pour la variance, la constante multiplicative sort au carré : V(Fₙ) = V(Sₙ)n² = 0,0475n/n² = 0,0475n.

  11. 3.b.

    L'événement I s'écrit 0,93 < Fₙ < 0,97, c'est-à-dire |Fₙ − 0,95| < 0,02, soit |Fₙ − E(Fₙ)| < 0,02. Son événement contraire est majoré par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec l'écart t = 0,02 : P(|Fₙ − E(Fₙ)| ≥ 0,02) ≤ V(Fₙ)0,02² = (0,0475n)/0,000 4 = 118,75n. On en déduit P(I) = 1 − P(|Fₙ − E(Fₙ)| ≥ 0,02) ≥ 1 − 118,75n. Il suffit donc que 1 − 118,75n ≥ 0,96, soit 118,75n ≤ 0,04, soit n ≥ 118,750,04 = 2 968,75. Comme n est entier, prélever un lot de n = 2 969 jouets (ou davantage) garantit P(I) ≥ 0,96.

Énoncé Exercice 3 Suites numériques Moyen

Dosage d'un médicament

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament.

On introduit la suite (uₙ) telle que uₙ représente la quantité de médicament, en mL, présente dans l'organisme immédiatement après n prises. On a u₁ = 2 et, pour tout entier naturel n strictement positif : uₙ₊₁ = 2 + 0,8uₙ.

Partie A

Un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises la quantité présente dans l'organisme est strictement supérieure à 9 mL.

1. Calculer u₂.

2. Montrer par récurrence que uₙ = 10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹ pour tout entier naturel n strictement positif.

3. Déterminer lim uₙ en +∞ et donner une interprétation dans le contexte.

4. Soit N un entier naturel strictement positif : l'inéquation uN ≥ 10 admet-elle des solutions ? Interpréter.

5. Déterminer à partir de combien de prises la quantité de médicament présente dans l'organisme est strictement supérieure à 9 mL. Justifier la démarche.

Partie B

Le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme au cours du temps. On définit, pour tout entier naturel n strictement positif, Sₙ = u₁ + u₂ + ⋯ + uₙn. On admet que la suite (Sₙ) est croissante.

1. Calculer S₂.

2. Montrer que pour tout entier naturel n strictement positif : u₁ + u₂ + ⋯ + uₙ = 10n − 40 + 40 × 0,8ⁿ.

3. Calculer lim Sₙ en +∞.

4. On donne la fonction suivante en langage Python :

def mystere(k):

n = 1

s = 2

while s < k:

n = n + 1

s = 10 - 40n + 40*0.8**nn

return n

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

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Corrigé Exercice 3 Dosage d'un médicament Revoir l'énoncé
  1. Partie A1.

    On applique la relation de récurrence avec n = 1 : u₂ = 2 + 0,8u₁ = 2 + 0,8 × 2 = 2 + 1,6 = 3,6. Après deux prises, l'organisme contient 3,6 mL de médicament.

  2. 2.

    Démonstration par récurrence de la propriété P(n) : « uₙ = 10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹ ». Initialisation : pour n = 1, 10 − 8 × 0,8⁰ = 10 − 8 × 1 = 2 = u₁, donc P(1) est vraie. Hérédité : soit n ≥ 1 tel que P(n) soit vraie. Alors uₙ₊₁ = 2 + 0,8uₙ = 2 + 0,8 × (10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹) = 2 + 8 − 8 × 0,8 × 0,8ⁿ⁻¹ = 10 − 8 × 0,8ⁿ, ce qui est exactement P(n+1). Conclusion : d'après le principe de récurrence, uₙ = 10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹ pour tout entier naturel n strictement positif.

  3. 3.

    Comme −1 < 0,8 < 1, la suite géométrique de terme général 0,8ⁿ⁻¹ converge vers 0, donc −8 × 0,8ⁿ⁻¹ tend vers 0. Par limite d'une somme, lim uₙ = 10 quand n tend vers +∞. Interprétation : au fil des prises horaires, la quantité de médicament présente dans l'organisme se stabilise autour de 10 mL.

  4. 4.

    uN ≥ 10 ⇔ 10 − 8 × 0,8ᴺ⁻¹ ≥ 10 ⇔ −8 × 0,8ᴺ⁻¹ ≥ 0. Or une puissance de 0,8 est strictement positive, donc −8 × 0,8ᴺ⁻¹ < 0 : l'inégalité est impossible et l'inéquation n'admet aucune solution. Interprétation : quel que soit le nombre de prises, la quantité de médicament présente dans l'organisme reste strictement inférieure à 10 mL. La valeur 10 est une limite jamais atteinte, ce qui garantit qu'il n'y a pas d'accumulation dangereuse.

  5. 5.

    uₙ > 9 ⇔ 10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹ > 9 ⇔ 8 × 0,8ⁿ⁻¹ < 1 ⇔ 0,8ⁿ⁻¹ < 0,125. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[, ceci équivaut à (n − 1)ln(0,8) < ln(0,125). Comme ln(0,8) < 0, diviser par ln(0,8) renverse le sens de l'inégalité : n − 1 > ln(0,125)ln(0,8) ≈ 9,32, soit n > 10,32. Le plus petit entier convenable est n = 11 (vérification : u₁₀ = 10 − 8 × 0,8⁹ ≈ 8,93 et u₁₁ = 10 − 8 × 0,8¹⁰ ≈ 9,14). C'est donc à partir de la 11ᵉ prise que la quantité présente dans l'organisme dépasse strictement 9 mL.

  6. Partie B1.

    S₂ = u₁ + u₂2 = 2 + 3,62 = 5,62 = 2,8. Sur les deux premières prises, la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme est de 2,8 mL.

  7. 2.

    On remplace chaque terme par son expression explicite : u₁ + u₂ + ⋯ + uₙ = (10 − 8 × 0,8⁰) + (10 − 8 × 0,8¹) + ⋯ + (10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹) = 10n − 8 × (0,8⁰ + 0,8¹ + ⋯ + 0,8ⁿ⁻¹). La parenthèse est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,8, égale à 1 − 0,8ⁿ1 − 0,8 = 1 − 0,8ⁿ0,2 = 5(1 − 0,8ⁿ). D'où u₁ + u₂ + ⋯ + uₙ = 10n − 8 × 5(1 − 0,8ⁿ) = 10n − 40(1 − 0,8ⁿ) = 10n − 40 + 40 × 0,8ⁿ.

  8. 3.

    En divisant l'égalité précédente par n : Sₙ = 10 − 40n + 40 × 0,8ⁿn. Quand n tend vers +∞, 40n tend vers 0 ; et comme −1 < 0,8 < 1, 0,8ⁿ tend vers 0, donc 40 × 0,8ⁿn tend aussi vers 0. Par limite d'une somme, lim Sₙ = 10. La quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme tend elle aussi vers 10 mL.

  9. 4.

    Dans la fonction, la variable s prend successivement les valeurs S₁ = 2, S₂, S₃, … : la ligne s = 10 - 40n + 40*0.8**nn est exactement la formule de Sₙ établie en B.3, et n contient l'indice correspondant. La boucle while tourne tant que s < k et s'arrête à la première valeur de n telle que Sₙ ≥ k. Donc mystere(9) renvoie le plus petit nombre de prises à partir duquel la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme atteint ou dépasse 9 mL. Cette valeur seuil est 40 (S₃₉ ≈ 8,975 et S₄₀ ≈ 9,000 1).

  10. 5.

    D'après A.2, la suite (uₙ) est croissante (0,8ⁿ⁻¹ décroît, donc 10 − 8 × 0,8ⁿ⁻¹ croît), et d'après A.5 on a uₖ > 9 seulement à partir de k = 11. Ainsi, pour tout k ≤ 10, uₖ ≤ u₁₀ ≈ 8,93 < 9. Or pour n ≤ 10, Sₙ est la moyenne des n premiers termes, tous inférieurs à 8,93 : on a donc Sₙ < 9 (on peut le vérifier avec la formule : S₁₀ = 10 − 401 − 0,8¹⁰10 ≈ 6,43). La condition s < 9 reste vraie tant que n ≤ 10 : la boucle ne peut pas s'arrêter à ces rangs, et la valeur renvoyée par mystere(9) est nécessairement strictement supérieure à 10.

Énoncé Exercice 4 Fonction exponentielle Difficile

Fonction e√x2√x

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = e√x2√x et on appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction g sur ]0 ; +∞[ par g(x) = e√x.

a. Montrer que g′(x) = f(x) pour tout x de ]0 ; +∞[.

b. Pour tout réel x de ]0 ; +∞[, calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) = e√x√x − 14x√x.

2. a. Déterminer la limite de f en 0.

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations en y faisant figurer les limites aux bornes.

c. Montrer que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [1 ; +∞[ et en donner une valeur approchée à 10⁻¹ près.

4. On pose I = ∫ de 1 à 2 de f(x) dx.

a. Calculer I.

b. Interpréter graphiquement le résultat.

5. On admet que f est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[ et que f ″(x) = e√xx − 3√x + 38x²√x.

a. En posant X = √x, montrer que x − 3√x + 3 > 0 pour tout réel x de ]0 ; +∞[.

b. Étudier la convexité de f sur ]0 ; +∞[.

Voir la correction

Corrigé Exercice 4 Fonction e√x2√x Revoir l'énoncé

  1. 1.a : g(x) = e√x est de la forme eu avec u(x) = √x, fonction dérivable sur ]0 ; +∞[ de dérivée u′(x) = 12√x. La formule de dérivation (eu)′ = u′ × eu donne g′(x) = 12√x × e√x = e√x2√x = f(x) pour tout x de ]0 ; +∞[. Autrement dit, g est une primitive de f sur ]0 ; +∞[ : on s'en servira à la question 4.

  2. 1.b : On dérive f = uv avec u(x) = e√x, dont la dérivée est u′(x) = e√x2√x d'après la question précédente, et v(x) = 2√x, dont la dérivée est v′(x) = 2 × 12√x = 1√x. La formule (uv)′ = u′v − uv′v², avec v(x)² = (2√x)² = 4x, donne : f ′(x) = [e√x2√x × 2√x − e√x × 1√x]/(4x) = [e√x − e√x√x]/(4x). On factorise par e√x et on réduit au même dénominateur √x : e√x(1 − 1√x) = e√x√x − 1√x. D'où f ′(x) = e√x√x − 14x√x, qui est bien l'expression annoncée.

  3. 2.a : Quand x tend vers 0 avec x > 0 : √x tend vers 0, donc le numérateur e√x tend vers e⁰ = 1 ; et le dénominateur 2√x tend vers 0 en restant strictement positif. Un quotient dont le numérateur tend vers 1 > 0 et le dénominateur vers 0⁺ tend vers +∞ : lim f(x) = +∞ quand x tend vers 0 par valeurs supérieures.

  4. 2.b : Une limite infinie en 0 se traduit graphiquement par une asymptote verticale : la droite d'équation x = 0, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe Cf.

  5. 3.a : On pose X = √x, de sorte que f(x) = eX2X = (12) × eXX. Quand x tend vers +∞, X tend vers +∞ et, par croissances comparées, eXX tend vers +∞ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de X). Par composition de limites, lim f(x) = +∞ quand x tend vers +∞.

  6. 3.b : Sur ]0 ; +∞[, e√x > 0 et 4x√x > 0, donc f ′(x) est du signe de √x − 1. Or √x − 1 ≥ 0 ⇔ √x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 (la fonction racine carrée est croissante). Donc f ′ est négative sur ]0 ; 1] et positive sur [1 ; +∞[ : f est strictement décroissante sur ]0 ; 1], strictement croissante sur [1 ; +∞[, et admet un minimum en x = 1 valant f(1) = e¹/(2 × 1) = e2 ≈ 1,36. Tableau de variations : f décroît de +∞ (limite en 0) jusqu'à e2 atteint en x = 1, puis croît de e2 jusqu'à +∞ (limite en +∞).

  7. 3.c : Sur [1 ; +∞[, f est continue (quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas) et strictement croissante d'après 3.b ; elle réalise donc une bijection de [1 ; +∞[ sur [f(1) ; +∞[ = [e2 ; +∞[. Comme e2 ≈ 1,36 < 2, le réel 2 appartient à cet intervalle : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur [1 ; +∞[. Par balayage à la calculatrice, f(4,6) ≈ 1,991 < 2 et f(4,7) ≈ 2,016 > 2, donc α ≈ 4,6 à 10⁻¹ près.

  8. 4.a : D'après la question 1.a, g est une primitive de f sur ]0 ; +∞[, intervalle qui contient [1 ; 2]. Le théorème fondamental du calcul intégral donne donc I = ∫ de 1 à 2 de f(x) dx = g(2) − g(1) = e√2 − e√1 = e√2 − e ≈ 1,39.

  9. 4.b : Sur [1 ; 2], f est strictement positive. L'intégrale I représente donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 2 : cette aire vaut e√2 − e ≈ 1,39 unité d'aire.

  10. 5.a : On pose X = √x ; comme x > 0, on a X > 0 et x = X². L'expression devient x − 3√x + 3 = X² − 3X + 3, trinôme du second degré en X de discriminant Δ = (−3)² − 4 × 1 × 3 = 9 − 12 = −3 < 0. Un trinôme de discriminant strictement négatif ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant, ici 1 > 0. Donc X² − 3X + 3 > 0 pour tout réel X, et par conséquent x − 3√x + 3 > 0 pour tout x de ]0 ; +∞[.

  11. 5.b : Pour tout x de ]0 ; +∞[ : e√x > 0, x − 3√x + 3 > 0 d'après 5.a, et 8x²√x > 0. Le quotient f ″(x) = e√xx − 3√x + 38x²√x est donc strictement positif sur ]0 ; +∞[. Or une fonction dont la dérivée seconde est positive est convexe : f est convexe sur ]0 ; +∞[. Graphiquement, Cf est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes et n'admet aucun point d'inflexion.