Bac de maths 2025 — Amérique du Sud · 14 novembre

L’événement S̄ est le contraire de S : « Abel ne réussit pas son premier service ». L’arbre pondéré comporte deux branches au premier niveau, S (probabilité 0,70) et S̄ (probabilité 0,30) ; de S partent G (0,80) et Ḡ (0,20), de S̄ partent G (0,45) et Ḡ (0,55).

Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches : P(S ∩ G) = P(S) × P_S(G) = 0,70 × 0,80 = 0,56.

Les événements S et S̄ forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales : P(G) = P(S ∩ G) + P(S̄ ∩ G) = 0,56 + P(S̄) × P_S̄(G) = 0,56 + 0,30 × 0,45 = 0,56 + 0,135 = 0,695. La probabilité qu’Abel gagne le point est bien égale à 0,695.

On demande ici la probabilité conditionnelle « renversée », celle de S sachant G : P_G(S) = P(S ∩ G)P(G) = 0,560,695 ≈ 0,806. Sachant qu’Abel a gagné le point, la probabilité qu’il ait réussi son premier service est d’environ 0,806.

Deux événements sont indépendants lorsque P(S ∩ G) = P(S) × P(G). Ici P(S) × P(G) = 0,70 × 0,695 = 0,486 5, alors que P(S ∩ G) = 0,56 : ces deux nombres sont différents, donc S et G ne sont pas indépendants. C’est cohérent avec l’énoncé, puisque réussir son premier service modifie les chances de gagner le point (0,80 contre 0,45).

On passe par l’événement contraire : P(X ≤ 18) = 1 − P(X = 19) − P(X = 20). Or P(X = 19) = 20 × 0,85¹⁹ × 0,15 ≈ 0,137 (il y a 20 façons de choisir la seule balle non conforme) et P(X = 20) = 0,85²⁰ ≈ 0,039. Donc P(X ≤ 18) ≈ 1 − 0,137 − 0,039 ≈ 0,824.

Sur 20 balles, « au moins deux balles non conformes » signifie « au plus 20 − 2 = 18 balles conformes » : c’est exactement l’événement (X ≤ 18) calculé à la question précédente. La probabilité cherchée vaut donc environ 0,824.

Pour une loi binomiale, E(X) = n × p = 20 × 0,85 = 17. Sur 20 balles testées, on peut s’attendre en moyenne à 17 balles conformes.

Chaque Xᵢ suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,85, donc E(Xᵢ) = 0,85 et V(Xᵢ) = 0,85 × (1 − 0,85) = 0,127 5. Par linéarité de l’espérance, E(Mₙ) = (1n) × (E(X₁) + … + E(Xₙ)) = (1n) × n × 0,85 = 0,85. Les variables Xᵢ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances, et V(aX) = a²V(X) : V(Mₙ) = (1n²) × n × 0,127 5 = 0,127 5n.

Rappel de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si Y admet une espérance et une variance, alors pour tout réel t > 0, P(|Y − E(Y)| ≥ t) ≤ V(Y)t². En passant à l’événement contraire : P(|Y − E(Y)| < t) ≥ 1 − V(Y)t².

(suite) On applique cette inégalité à Y = Mₙ avec t = 0,1. D’une part |Mₙ − 0,85| < 0,1 équivaut à −0,1 < Mₙ − 0,85 < 0,1, c’est-à-dire 0,75 < Mₙ < 0,95. D’autre part V(Mₙ)t² = (0,127 5n)/0,01 = 12,75n. On obtient donc bien P(0,75 < Mₙ < 0,95) ≥ 1 − 12,75n, pour tout entier naturel n non nul.

Il suffit que cette minoration dépasse 0,9 : 1 − 12,75n > 0,9 ⇔ 12,75n < 0,1 ⇔ n > 127,5. Le plus petit entier qui convient est n = 128, et on a alors 1 − 12,75128 ≈ 0,900 4 > 0,9. Avec un échantillon de 128 balles, la moyenne Mₙ appartient à l’intervalle ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

→ réponse c. On lit les vecteurs directeurs dans les représentations paramétriques : u₁(−3 ; 2 ; 1) pour ∆₁ et u₂(1 ; 2 ; 1) pour ∆₂. Ils ne sont pas colinéaires (si l’on avait u₁ = k u₂, la troisième coordonnée imposerait k = 1, et la première donnerait alors −3 = 1, ce qui est faux) : les droites ne sont pas parallèles, donc a est fausse. De plus u₁ · u₂ = (−3) × 1 + 2 × 2 + 1 × 1 = 2 ≠ 0 : elles ne sont pas orthogonales, donc b est fausse.

(suite). Il reste à vérifier c en cherchant un point commun, c’est-à-dire en résolvant le système 1 − 3t = −4 + s ; 4 + 2t = 2 + 2s ; t = −1 + s. La troisième équation donne s = t + 1 ; la deuxième devient alors 4 + 2t = 4 + 2t, toujours vraie ; la première donne 1 − 3t = −3 + t, soit 4t = 4 et t = 1, d’où s = 2. Les deux droites passent bien par le point de coordonnées (−2 ; 6 ; 1) : elles sont sécantes.

→ réponse b. La droite d a pour vecteur directeur u(1 ; −1 ; 2) et le plan P a pour vecteur normal n(4 ; 2 ; −1) (coefficients de son équation cartésienne). Comme u · n = 4 × 1 + 2 × (−1) + (−1) × 2 = 0, la droite est parallèle au plan : elle est soit incluse dans P, soit strictement parallèle, ce qui élimine c.

(suite). Pour trancher, on teste le point de d obtenu pour t = 0, soit A(1 ; 3 ; 1) : 4 × 1 + 2 × 3 − 1 + 3 = 12 ≠ 0, donc A n’appartient pas à P. La droite d n’est pas incluse dans P : elle lui est strictement parallèle.

→ réponse a. On calcule AB(4 ; 1 ; 0), AC(−4 ; 2 ; 4) et CD(−2 ; −1 ; 0). AB et AC ne sont pas colinéaires (4 × 2 − 1 × (−4) = 12 ≠ 0), donc A, B et C ne sont pas alignés : b est fausse. AB et CD ne le sont pas non plus (4 × (−1) − 1 × (−2) = −2 ≠ 0) : c est fausse.

(suite). On vérifie a. Si les quatre points étaient coplanaires, D appartiendrait au plan (ABC) et on pourrait écrire AD = x AB + y AC avec AD(−6 ; 1 ; 4), d’où le système −6 = 4x − 4y ; 1 = x + 2y ; 4 = 4y. La troisième équation donne y = 1, la deuxième x = −1 ; mais alors 4x − 4y = −8 ≠ −6 : le système est impossible. D n’appartient pas au plan (ABC), donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

→ réponse c. Le point R(1 ; 1 ; −2) vérifie l’équation de Q (3 × 1 − 2 × 1 + (−2) + 1 = 0) mais pas celle de Q′ (4 × 1 + 1 − (−2) + 3 = 10 ≠ 0) : a est fausse. Les vecteurs normaux n(3 ; −2 ; 1) et n′(4 ; 1 ; −1) vérifient n · n′ = 12 − 2 − 1 = 9 ≠ 0 : ils ne sont pas orthogonaux, donc les plans ne le sont pas non plus et b est fausse.

(suite). On vérifie c en remplaçant x = t, y = 7t + 4 et z = 11t + 7 dans les deux équations : 3t − 2(7t + 4) + (11t + 7) + 1 = (3 − 14 + 11)t + (−8 + 7 + 1) = 0 et 4t + (7t + 4) − (11t + 7) + 3 = (4 + 7 − 11)t + (4 − 7 + 3) = 0. Tous les points de cette droite appartiennent aux deux plans, qui sont donc sécants suivant cette droite.

Réponses du QCM : 1. c — 2. b — 3. a — 4. c.

On applique la relation de récurrence au rang 0, en utilisant e^ln(a) = a pour a > 0 : v₁ = ln(−1 + 2e^v₀) = ln(−1 + 2e^{ln 4}) = ln(−1 + 2 × 4) = ln(7). De même w₀ = −1 + e^v₀ = −1 + 4 = 3. Les valeurs exactes demandées sont donc v₁ = ln(7) et w₀ = 3.

La formule 2 est la bonne. Une formule de tableur doit commencer par le signe « = » : la formule 1, qui en est dépourvue, serait interprétée comme du texte. La relation vₙ₊₁ = ln(−1 + 2e^vₙ) utilise le terme précédent de la suite, situé juste au-dessus dans la colonne B : la formule 3 est donc à écarter, car A2 contient l’indice n et non vₙ. Saisie en B3, la formule 2 calcule bien v₁ à partir de v₀ contenu en B2.

Les valeurs affichées dans la colonne B augmentent régulièrement (1,386… puis 1,945… puis 2,564…) : on conjecture que la suite (vₙ) est strictement croissante.

Récurrence, initialisation : v₀ = ln(4) et v₁ = ln(7). Comme 4 < 7 et que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, on a v₀ < v₁ : la propriété « vₙ < vₙ₊₁ » est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons que vₙ < vₙ₊₁ pour un certain entier naturel n. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, e^vₙ < e^vₙ₊₁ ; en multipliant par 2 (nombre positif) puis en ajoutant −1, l’ordre est conservé : −1 + 2e^vₙ < −1 + 2e^vₙ₊₁. Ces deux nombres sont strictement positifs, puisque l’énoncé admet que la suite est bien définie ; la fonction ln étant strictement croissante, ln(−1 + 2e^vₙ) < ln(−1 + 2e^vₙ₊₁), c’est-à-dire vₙ₊₁ < vₙ₊₂ : la propriété est vraie au rang n + 1.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, vₙ < vₙ₊₁ pour tout entier naturel n. La suite (vₙ) est strictement croissante, ce qui valide la conjecture.

Pour tout entier naturel n : wₙ₊₁ = −1 + e^vₙ₊₁ = −1 + e^{ln(−1 + 2evₙ)} = −1 + (−1 + 2e^vₙ) = −2 + 2e^vₙ = 2(−1 + e^vₙ) = 2wₙ. Chaque terme s’obtient donc en multipliant le précédent par 2 : la suite (wₙ) est géométrique, de raison q = 2 et de premier terme w₀ = 3.

Le terme général d’une suite géométrique est wₙ = w₀ × qⁿ, donc wₙ = 3 × 2ⁿ. Or wₙ = −1 + e^vₙ, d’où e^vₙ = 1 + wₙ = 1 + 3 × 2ⁿ. En composant par la fonction ln, réciproque de l’exponentielle : vₙ = ln(1 + 3 × 2ⁿ) pour tout entier naturel n.

Comme 2 > 1, lim 2ⁿ = +∞ quand n → +∞, donc lim (1 + 3 × 2ⁿ) = +∞. Par composition avec lim ln(X) = +∞ quand X → +∞, on conclut : lim vₙ = +∞. La suite (vₙ) diverge vers +∞.

L’algorithme calcule les termes successifs de la suite : V contient v₀ = ln(4) au départ, et l’instruction V = ln(2e^V − 1) est exactement la relation vₙ₊₁ = ln(−1 + 2e^vₙ), le compteur n suivant le rang atteint. Comme (vₙ) tend vers +∞, elle n’est pas majorée : quel que soit le réel S choisi, il existe un rang p tel que v_p ≥ S. La condition « V < S » finit donc par être fausse, la boucle while s’arrête et la fonction renvoie le rang cherché : l’algorithme renvoie toujours un résultat.

Le choix est successif et sans remise : il y a 60 valeurs possibles pour a, puis seulement 59 valeurs restantes pour c. Comme l’ordre compte (le couple (a ; c) est ordonné), on obtient 60 × 59 = 3 540 couples différents.

Le coefficient a est non nul, donc ax² + 2x + c = 0 est bien une équation du second degré. Son discriminant vaut Δ = 2² − 4 × a × c = 4 − 4ac = 4(1 − ac). L’équation possède deux solutions réelles distinctes si et seulement si Δ > 0, c’est-à-dire 4(1 − ac) > 0, soit 1 − ac > 0, soit ac < 1 : l’événement M est réalisé si et seulement si ac < 1.

L’événement contraire M̄ est « ac ≥ 1 ». Comme a et c sont des entiers non nuls, ac est un entier non nul, et ac ≥ 1 équivaut à ac > 0 : cela signifie que a et c sont de même signe. Si les deux sont négatifs : 30 choix pour a, puis 29 pour c (sans remise), soit 30 × 29 = 870 couples ; si les deux sont positifs, on compte de même 870 couples. Au total M̄ comporte 870 + 870 = 1 740 issues.

Il reste donc 3 540 − 1 740 = 1 800 issues favorables à M. Les choix étant équiprobables, P(M) = 1 8003 540 = 3059 ≈ 0,508. Arrondie à 10⁻², la probabilité que l’équation ait deux solutions réelles distinctes vaut 0,51.

On dérive f = u × v avec u(x) = 6x² + 2x − 2 (donc u′(x) = 12x + 2) et v(x) = e^−5x+1 (donc v′(x) = −5e^−5x+1) : f′(x) = (12x + 2)e^−5x+1 − 5(6x² + 2x − 2)e^−5x+1 = (12x + 2 − 30x² − 10x + 10)e^−5x+1 = (−30x² + 2x + 12)e^−5x+1.

(suite) On reporte dans le premier membre de (E) : f′(x) + 10f(x) = [(−30x² + 2x + 12) + 10(6x² + 2x − 2)]e^−5x+1 = (−30x² + 2x + 12 + 60x² + 20x − 20)e^−5x+1 = (30x² + 22x − 8)e^−5x+1. On retrouve exactement le second membre de (E) : la fonction f est bien une solution particulière de (E).

Les solutions d’une équation différentielle linéaire s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière toutes les solutions de l’équation homogène associée. Les solutions de (E) sont donc les fonctions x ↦ (6x² + 2x − 2)e^−5x+1 + C e^−10x, avec C ∈ ℝ.

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc f(x) = 0 équivaut à 6x² + 2x − 2 = 0. Cette équation est de la forme ax² + 2x + c = 0 avec a = 6 et c = −2 : comme ac = −12 < 1, le critère établi en partie A assure qu’elle admet deux solutions réelles distinctes (on peut le confirmer avec Δ = 4 + 48 = 52 > 0). La courbe C_f coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points.

D’après la partie B, f′(x) = (−30x² + 2x + 12)e^−5x+1, et comme l’exponentielle ne s’annule pas, f′(x) = 0 équivaut à −30x² + 2x + 12 = 0. Cette équation est encore de la forme ax² + 2x + c = 0, avec a = −30 et c = 12 : puisque ac = −360 < 1, la partie A garantit deux solutions distinctes. Le calcul donne Δ = 4 + 1 440 = 1 444 = 38², puis x = −2 − 38−60 = 23 et x = −2 + 38−60 = −35. En ces deux points le nombre dérivé est nul : C_f possède bien deux tangentes horizontales.

Le trinôme −30x² + 2x + 12 a un coefficient dominant négatif : il est négatif à l’extérieur de ses racines et positif entre elles. Comme e^−5x+1 > 0, f′ a le même signe. Donc f est décroissante sur ]−∞ ; −35], croissante sur [−35 ; 23] et décroissante sur [23 ; +∞[.

(suite) Valeurs remarquables : f(−35) = (6 × 925 − 65 − 2)e⁴ = −1,04 e⁴ ≈ −56,8 (minimum local) et f(23) = (6 × 49 + 43 − 2)e⁻⁷³ = 2e⁻⁷³ ≈ 0,194 (maximum local). Le tableau de variation se lit donc ainsi : f décroît de +∞ (limite en −∞) jusqu’à ≈ −56,8 en x = −35, croît jusqu’à ≈ 0,194 en x = 23, puis décroît vers 0 (limite admise en +∞).

Sur [−35 ; +∞[, f est majorée par son maximum f(23) ≈ 0,194 < 1 : l’équation f(x) = 1 n’a aucune solution sur cet intervalle. En revanche, sur ]−∞ ; −35], f est continue et strictement décroissante, et prend toutes les valeurs de l’intervalle [f(−35) ; +∞[, avec f(−35) ≈ −56,8 ; comme 1 appartient à cet intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone donne une unique solution α. Conclusion : l’équation f(x) = 1 admet exactement une solution dans ℝ (attention, f n’est pas majorée par 0,194 sur ℝ tout entier, puisqu’elle tend vers +∞ en −∞).

F est un produit de fonctions dérivables, avec u(x) = −65 x² − 2225 x + 28125 et v(x) = e^−5x+1 : F′(x) = (−125 x − 2225)e^−5x+1 − 5(−65 x² − 2225 x + 28125)e^−5x+1 = (6x² + (−125 + 225)x + (−2225 − 2825))e^−5x+1 = (6x² + 2x − 2)e^−5x+1 = f(x). Puisque F′ = f sur ℝ, F est bien une primitive de f sur ℝ.

D’après le théorème fondamental, Iₘ = F(m) − F(0,2). Or F(0,2) = (−65 × 0,04 − 2225 × 0,2 + 28125)e⁰ = (−6125 − 22125 + 28125) × 1 = 0, donc Iₘ = F(m). Comme e^−5m+1 > 0, résoudre Iₘ = 0 revient à résoudre −65 m² − 2225 m + 28125 = 0, soit, en multipliant par −1252 : 75m² + 55m − 14 = 0. Son discriminant vaut Δ = 55² + 4 × 75 × 14 = 3 025 + 4 200 = 7 225 = 85², d’où m = −55 + 85150 = 0,2 et m = −55 − 85150 = −1415.

(conclusion) Aucune de ces deux racines n’est strictement supérieure à 0,2 : il n’existe donc pas de valeur de m > 0,2 telle que Iₘ = 0. Graphiquement, Iₘ est l’aire algébrique comprise entre C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0,2 et x = m : la courbe est sous l’axe entre 0,2 et sa racine positive (≈ 0,43), puis au-dessus. Le résultat signifie que l’aire située au-dessus de l’axe ne compense jamais exactement celle située en dessous : Iₘ reste strictement négative pour tout m > 0,2.