Bac de maths 2024 — Asie · 10 juin

, questions 1 et 2. Lecture graphique. La courbe C monte de x = 0 jusqu'à x = 1,5, puis redescend jusqu'à x = 5 : la fonction f est donc croissante sur [0 ; 1,5] et décroissante sur [1,5 ; 5]. Les ordonnées lues aux bornes et au sommet donnent le tableau de variations sur [0 ; 5] : f croît de f(0) ≈ −5,5 jusqu'au maximum f(1,5) ≈ 2,4, puis décroît de 2,4 jusqu'à f(5) ≈ 0,35. Question 2 : au point A, la courbe C ne reste pas d'un seul côté de sa tangente T, elle la traverse. Or une courbe est au-dessus de ses tangentes là où la fonction est convexe et au-dessous là où elle est concave : traverser la tangente signifie changer de convexité. La courbe C semble donc présenter un point d'inflexion en A.

, question 3. On utilise deux propriétés du cours : le signe de f′ donne le sens de variation de f, et le signe de f″ donne la convexité de f. D'après la question 1, f est croissante puis décroissante, son maximum étant atteint en x = 1,5 : sa dérivée f′ est donc positive sur [0 ; 1,5], s'annule en 1,5, puis est négative. C'est le comportement de la courbe C₂, positive puis négative avec un changement de signe vers x = 1,5 : la courbe C₂ représente f′. D'après la question 2, f change de convexité en A, d'abscisse 2,5 : elle est concave avant A et convexe après, donc f″ est négative sur [0 ; 2,5], s'annule en 2,5, puis est positive. C'est le comportement de la courbe C₁ : la courbe C₁ représente f″.

, question 4. Par définition, si F est une primitive de f sur [0 ; +∞[, alors F′ = f : le signe de f donne donc le sens de variation de F. Or on lit sur la courbe C que f est négative sur [0 ; 0,5[ et positive sur ]0,5 ; 5]. Une primitive de f devrait donc être décroissante sur [0 ; 0,5] puis croissante sur [0,5 ; 5]. Or la courbe C₃ est croissante jusque vers x = 0,5 puis décroissante : elle présente exactement le sens de variation contraire. La courbe C₃ ne peut donc pas être la représentation graphique d'une primitive de la fonction f sur [0 ; +∞[.

, question 1. b. La fonction exponentielle est strictement positive, donc e^−x+1 > 0 pour tout x : f′(x) est du signe du facteur affine −4x + 6. Or −4x + 6 > 0 ⟺ 6 > 4x ⟺ x < 32. Ainsi f′ > 0 sur [0 ; 32[, f′(32) = 0 et f′ < 0 sur ]32 ; +∞[ : la fonction f est croissante sur [0 ; 32] puis décroissante sur [32 ; +∞[. On calcule les valeurs remarquables : f(0) = (4 × 0 − 2)e⁰⁺¹ = −2e ≈ −5,44 et f(32) = (4 × 32 − 2)e⁻³²⁺¹ = 4e⁻¹² ≈ 2,43 ; la limite en +∞ vaut 0, comme l'énoncé l'admet. Tableau complet : sur [0 ; 32], f′ est de signe + et f croît de −2e à 4e⁻¹² ; sur [32 ; +∞[, f′ est de signe − et f décroît de 4e⁻¹² vers 0. La fonction f admet donc un maximum égal à 4e⁻¹², atteint en x = 32 — ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

, question 1. c. La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde. On dérive f′(x) = (−4x + 6)e^−x+1 avec la même formule du produit : f″(x) = −4 × e^−x+1 + (−4x + 6) × (−e^−x+1) = (−4 + 4x − 6)e^−x+1 = (4x − 10)e^−x+1. Comme e^−x+1 > 0, f″(x) est du signe de 4x − 10, qui s'annule en x = 52 : f″ < 0 sur [0 ; 52[ et f″ > 0 sur ]52 ; +∞[. Une fonction est concave là où sa dérivée seconde est négative et convexe là où elle est positive : f est donc concave sur [0 ; 52] et convexe sur [52 ; +∞[. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en 52, donc la courbe représentative de f admet un unique point d'inflexion, d'abscisse 52 — c'est bien le point A observé à la partie A.

, question 2. a. La fonction F : x ↦ (ax + b)e^−x+1 est dérivable sur [0 ; +∞[ comme produit de fonctions dérivables, et la formule du produit donne : F′(x) = a × e^−x+1 + (ax + b) × (−e^−x+1) = (a − ax − b)e^−x+1 = (−ax + a − b)e^−x+1. Par définition, F est une primitive de f sur [0 ; +∞[ si et seulement si F′(x) = f(x) pour tout x ≥ 0, c'est-à-dire (−ax + a − b)e^−x+1 = (4x − 2)e^−x+1. Comme e^−x+1 > 0, on peut simplifier par ce facteur : −ax + a − b = 4x − 2 pour tout x ≥ 0. Deux fonctions affines sont égales sur un intervalle si et seulement si leurs coefficients sont égaux, d'où le système : −a = 4 et a − b = −2. La première équation donne a = −4, et la seconde b = a + 2 = −4 + 2 = −2. Les valeurs cherchées sont donc a = −4 et b = −2, c'est-à-dire F(x) = (−4x − 2)e^−x+1.

, question 2. b. La fonction f est continue sur [32 ; 8] et F en est une primitive : d'après le théorème fondamental de l'analyse, l'intégrale se calcule comme la variation de la primitive entre les bornes. I = ∫ de 32 à 8 de f(x) dx = [F(x)] de 32 à 8 = F(8) − F(32). Or F(8) = (−4 × 8 − 2)e⁻⁸⁺¹ = −34e⁻⁷ et F(32) = (−4 × 32 − 2)e⁻³²⁺¹ = (−6 − 2)e⁻¹² = −8e⁻¹². Donc I = −34e⁻⁷ − (−8e⁻¹²) = 8e⁻¹² − 34e⁻⁷. La valeur exacte de l'intégrale est I = 8e⁻¹² − 34e⁻⁷ ; à la calculatrice, I ≈ 4,8212, soit I ≈ 4,82 à 10⁻² près.

, question 3. a. Le profil de la piste est la courbe de f sur [32 ; 8]. D'après la question 1. b, f est décroissante sur [32 ; +∞[, donc elle l'est en particulier sur [32 ; 8] : le point le plus haut du profil, c'est-à-dire le point de départ D, est celui d'abscisse 32. Sa hauteur vaut f(32) = 4e⁻¹² ≈ 2,4261. Au centimètre près, la hauteur du point de départ D est donc de 2,43 m.

, question 3. b. Sur [32 ; 8], f est positive : le facteur 4x − 2 est positif dès que x > 12 et l'exponentielle l'est toujours. L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 32 et x = 8 est donc égale à l'intégrale I calculée à la question 2. b. L'unité de longueur étant le mètre, une unité d'aire vaut 1 m² : le mur de profil a une aire d'environ 4,82 m². L'artiste prévoit d'en couvrir 75 %, soit 0,75 × 4,82 ≈ 3,62 m². Chaque bombe couvrant 0,8 m², il en faut 3,62 ÷ 0,8 ≈ 4,52. Le nombre de bombes est un entier et 4 bombes ne suffiraient pas à couvrir les 3,62 m² prévus : on arrondit à l'entier supérieur. L'artiste devra donc utiliser 5 bombes aérosol.

On calcule les coordonnées de deux vecteurs : AB = (4 − 3 ; −1 − (−1) ; 0 − 1) = (1 ; 0 ; −1) et AC = (0 − 3 ; 3 − (−1) ; 2 − 1) = (−3 ; 4 ; 1). Si ces vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel k tel que AC = k AB ; la première coordonnée imposerait k = −3, et la deuxième donnerait alors 4 = −3 × 0 = 0, ce qui est absurde. Les vecteurs AB et AC ne sont donc pas colinéaires : les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan (ABC).

Le vecteur AD a pour coordonnées (4 − 3 ; 3 − (−1) ; −2 − 1) = (1 ; 4 ; −3). Cherchons à l'écrire comme combinaison linéaire de AB et AC : 4 AB + AC = (4 × 1 + (−3) ; 4 × 0 + 4 ; 4 × (−1) + 1) = (1 ; 4 ; −3). On a donc AD = 4 AB + AC : le vecteur AD est coplanaire aux vecteurs non colinéaires AB et AC, donc D appartient au plan (ABC) et les points A, B, C et D sont coplanaires.

Le vecteur CD a pour coordonnées (4 − 0 ; 3 − 3 ; −2 − 2) = (4 ; 0 ; −4) = 4 × (1 ; 0 ; −1), c'est-à-dire CD = 4 AB. Les vecteurs AB et CD étant colinéaires, les droites (AB) et (CD) sont parallèles ; elles sont bien distinctes car C n'appartient pas à (AB) (question 1). Le quadrilatère ABDC est plan d'après la question 2. a et possède deux côtés opposés parallèles : c'est donc un trapèze de bases [AB] et [CD].

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées : n · AB = 2 × 1 + 1 × 0 + 2 × (−1) = 2 + 0 − 2 = 0 et n · AC = 2 × (−3) + 1 × 4 + 2 × 1 = −6 + 4 + 2 = 0. Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.

Un plan admettant n(2 ; 1 ; 2) pour vecteur normal a une équation cartésienne de la forme 2x + y + 2z + d = 0. Le point A(3 ; −1 ; 1) appartient à ce plan, donc 2 × 3 + (−1) + 2 × 1 + d = 0, soit 6 − 1 + 2 + d = 0, d'où d = −7. Une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x + y + 2z − 7 = 0.

Une droite orthogonale à un plan est dirigée par un vecteur normal de ce plan : la droite ∆ est donc dirigée par n(2 ; 1 ; 2) et passe par S(2 ; 1 ; 4). Une représentation paramétrique de ∆ est : x = 2 + 2t, y = 1 + t, z = 4 + 2t, avec t ∈ ℝ.

On cherche le paramètre t du point de ∆ qui vérifie l'équation du plan : 2(2 + 2t) + (1 + t) + 2(4 + 2t) − 7 = 0, soit 4 + 4t + 1 + t + 8 + 4t − 7 = 0, c'est-à-dire 9t + 6 = 0, donc t = −23. En reportant : x = 2 + 2 × (−23) = 23, y = 1 − 23 = 13 et z = 4 + 2 × (−23) = 83, d'où I(23 ; 13 ; 83). Le vecteur SI a alors pour coordonnées (23 − 2 ; 13 − 1 ; 83 − 4) = (−43 ; −23 ; −43) et, le repère étant orthonormé, SI = √(−43)² + (−23)² + (−43)² = √169 + 49 + 169 = √369 = √4 = 2. L'unité de longueur étant le centimètre, SI = 2 cm.

Le projeté orthogonal de B sur (CD) est caractérisé par deux propriétés, qu'on vérifie l'une après l'autre. D'abord H appartient à (CD) : le vecteur CH = (3 − 0 ; 3 − 3 ; −1 − 2) = (3 ; 0 ; −3) vaut (34) × (4 ; 0 ; −4) = (34) CD, donc C, H et D sont alignés. Ensuite (BH) est orthogonale à (CD) : le vecteur BH = (3 − 4 ; 3 − (−1) ; −1 − 0) = (−1 ; 4 ; −1) vérifie BH · CD = (−1) × 4 + 4 × 0 + (−1) × (−4) = −4 + 0 + 4 = 0. H est donc bien le projeté orthogonal de B sur (CD), et HB = √(−1)² + 4² + (−1)² = √1 + 16 + 1 = √18 = √9 × 2 = 3√2 cm.

Longueurs des deux bases : AB = √1² + 0² + (−1)² = √2 cm, et comme CD = 4 AB, on obtient CD = 4 × √2 = 4√2 cm. La hauteur du trapèze est la distance entre les droites parallèles (AB) et (CD) : c'est exactement HB = 3√2 cm, puisque (BH) est perpendiculaire à (CD) et donc aussi à (AB), qui lui est parallèle. La formule rappelée donne : aire = (√2 + 4√22) × 3√2 = (5√2/2) × 3√2 = 15 × 22 = 15. L'aire exacte du trapèze ABDC est donc 15 cm².

La droite ∆ est orthogonale au plan (ABC), qui contient la base ABDC, et I est son point d'intersection avec ce plan : I est donc le pied de la hauteur issue de S, et la hauteur de la pyramide vaut SI = 2 cm. D'où V = (13) × 15 × 2 = 10. Le volume de la pyramide SABDC est de 10 cm³.

, question 1. L'individu étant prélevé au hasard dans la population française adulte, on est en situation d'équiprobabilité : la proportion donnée par l'étude se lit directement comme une probabilité. Comme 5,7 % des adultes avaient déjà été infectés, P(I) = 5,7100 = 0,057.

, question 2. a. On répète 100 fois une même épreuve de Bernoulli — prélever un adulte et regarder s'il a déjà été infecté (succès de probabilité p = 0,057) —, ces 100 répétitions étant identiques et indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X compte le nombre de succès : X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,057, ce que l'on note X ∼ B(100 ; 0,057).

, question 2. b. Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance vaut E(X) = n × p. Ici E(X) = 100 × 0,057 = 5,7. Interprétation : si l'on prélevait un très grand nombre d'échantillons de 100 adultes, on y compterait en moyenne 5,7 personnes déjà infectées par la COVID-19.

, question 2. c. On applique la formule P(X = k) = C(n ; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ avec k = 0 : P(X = 0) = C(100 ; 0) × 0,057⁰ × 0,943¹⁰⁰ = 0,943¹⁰⁰ ≈ 0,0028. La probabilité qu'aucune personne de l'échantillon n'ait été infectée vaut environ 0,0028, soit moins de 3 chances sur 1 000.

, question 2. d. L'événement « au moins 2 personnes infectées » a pour contraire « au plus 1 personne infectée », donc P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Or P(X = 1) = C(100 ; 1) × 0,057¹ × 0,943⁹⁹ = 100 × 0,057 × 0,943⁹⁹ ≈ 0,0171. D'où P(X ≥ 2) ≈ 1 − 0,0028 − 0,0171 ≈ 0,9801. Il y a donc environ 98 % de chances que l'échantillon contienne au moins 2 personnes déjà infectées.

, question 2. e. On calcule les probabilités cumulées à la calculatrice : P(X ≤ 8) ≈ 0,8829, qui n'est pas supérieur à 0,9, tandis que P(X ≤ 9) ≈ 0,9408 > 0,9. Le plus petit entier cherché est donc n = 9. Interprétation : dans plus de 90 % des échantillons de 100 adultes français, le nombre de personnes déjà infectées au 11 mai 2020 ne dépasse pas 9.

, question 2. Les événements I et Ī forment une partition de l'univers, on peut donc appliquer la formule des probabilités totales : P(T) = P(I ∩ T) + P(Ī ∩ T) = P(I) × P_I(T) + P(Ī) × P_Ī(T) = 0,057 × 0,8 + 0,943 × 0,01 = 0,0456 + 0,00943 = 0,05503.

, question 3. On cherche la probabilité de I sachant T, c'est-à-dire P_T(I) = P(T ∩ I)P(T). Le numérateur est la probabilité du chemin I puis T : P(T ∩ I) = 0,057 × 0,8 = 0,0456. Donc P_T(I) = 0,04560,05503 = 4560/5503 ≈ 0,8286. Une personne dont le test est positif n'a donc qu'environ 82,86 % de chances d'avoir réellement été infectée : près de 17 % des tests positifs sont de faux positifs, car les non-infectés, bien plus nombreux, produisent malgré tout beaucoup de tests positifs.

FAUSSE. Le théorème de convergence monotone garantit seulement qu'une suite décroissante et minorée converge vers une limite ℓ ; rien n'impose que ℓ soit égale au minorant 0. Un contre-exemple suffit donc : posons uₙ = 1 + 1n pour n ≥ 1. Elle est décroissante, car uₙ₊₁ − uₙ = 1n+1 − 1n < 0 ; elle est minorée par 0, car uₙ > 1 > 0 ; et pourtant, comme lim 1n = 0, on a lim uₙ = 1 ≠ 0. L'affirmation est donc fausse.

VRAIE. On fait apparaître des suites géométriques dans le majorant : −9ⁿ + 3ⁿ7ⁿ = −9ⁿ/7ⁿ + 3ⁿ/7ⁿ = −(97)ⁿ + (37)ⁿ. Comme 97 > 1, on a lim (97)ⁿ = +∞, donc lim −(97)ⁿ = −∞ ; comme −1 < 37 < 1, on a lim (37)ⁿ = 0. Par somme des limites, lim −9ⁿ + 3ⁿ7ⁿ = −∞. Or, pour tout entier n, uₙ ≤ −9ⁿ + 3ⁿ7ⁿ : d'après le théorème de comparaison — une suite majorée par une suite de limite −∞ tend elle aussi vers −∞ —, on conclut lim uₙ = −∞.

VRAIE. On déroule l'appel terme(4). Avant la boucle, U vaut 1. L'instruction for i in range(4) fait prendre à i les valeurs 0, 1, 2 puis 3, et chaque tour remplace U par U + i : pour i = 0, U = 1 + 0 = 1 ; pour i = 1, U = 1 + 1 = 2 ; pour i = 2, U = 2 + 2 = 4 ; pour i = 3, U = 4 + 3 = 7. La fonction renvoie donc bien 7. On reconnaît d'ailleurs U = 1 + (0 + 1 + ... + (N−1)) = 1 + N(N−1)2, qui vaut 1 + 6 = 7 pour N = 4.

FAUSSE. Prix A : 15 versements de 1 000 euros, soit A = 15 × 1 000 = 15 000 euros. Prix B : les sommes reçues jour après jour, 1, 2, 4, ..., forment une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, dont on additionne les 15 premiers termes. La formule de la somme des termes d'une suite géométrique donne B = 1 × 1 − 2¹⁵1 − 2 = 2¹⁵ − 1 = 32 768 − 1 = 32 767 euros. Comme 32 767 > 15 000, c'est le prix B qui est le plus avantageux : l'affirmation est fausse. On peut même s'en convaincre sans la formule, puisque le seul quinzième jour rapporte déjà 2¹⁴ = 16 384 euros, davantage que le prix A tout entier.

VRAIE. Pour montrer qu'une suite est croissante, on étudie le signe de vₙ₊₁ − vₙ. Pour tout entier n ≥ 1, la relation de Chasles donne vₙ₊₁ − vₙ = ∫ de 1 à n+1 de ln x dx − ∫ de 1 à n de ln x dx = ∫ de n à n+1 de ln x dx. Sur l'intervalle [n ; n+1], qui est inclus dans [1 ; +∞[ puisque n ≥ 1, la fonction ln est positive : elle est croissante et ln 1 = 0. L'intégrale d'une fonction positive entre deux bornes rangées dans l'ordre croissant est positive, donc vₙ₊₁ − vₙ ≥ 0 : la suite (vₙ) est croissante. Elle est même strictement croissante, car ln est strictement positive sur ]1 ; +∞[.